Доказать что пространство X сепарабельно

[Scout]

Доказать что пространство X сепарабельно:
$X=C ^n [0,1]$
$||X||=\sum\limits_{k=0}^m max_{[0,1]} |X''(t)|$
Как тут действовать? Норма вон какая....

[AD]

А что, выражение под суммой от $k$ не зависит?

[ewert]

Scout в сообщении #290936 писал(а):

Как тут действовать? Норма вон какая....

Да, норма действительно никуда не годится -- запись справа бессмысленна.

А если удастся всё-таки исправить, то логически наиболее простой (хотя в деталях и немножко занудный) план действий такой:

1) доказать, что любая такая функция сколь угодно точно приближается аналитическими и даже целыми (достаточно свернуть её с обостряющимися гауссовыми ядрами);

2) аналитическая функция сколь угодно точно равномерно приближается конечной суммой, т.е. многочленом;

3) многочлен сколь угодно точно приближается многочленами с рациональными коэффициентами, а множество последних -- счётно.

[gris]

[Позволю себе догадаться.

$X=C ^n [0,1]$

$\|X\|=\sum\limits_{k=0}^n \max\limits_{[0,1]} |X^{(k)}(t)|$

Оно сепарабельно, честное слово.

[Scout]

да тут в степени k просто ошибся я (
пространство то сепарабельно но надо доказать естесственно

-- Вс фев 21, 2010 17:32:29 --

Какое счетное всюду плотное множество будет в $в X=C^n [0,1]$?
Если подскажете то дальше по теореме Вейерштрассе наверно можно будет делать.

[gris]

$k$ - степень??? Оригинально... А, ну да, степень производной.

Ну многочлены с рациональными коэффициентами не подойдут?

[Scout]

полиномы с рациональными коэффициентами для $C[a,b]$ а тут не знаю вот и спрашиваю
хотя может и с n применимо
тогда вроде понятно почему степень $k$

-- Вс фев 21, 2010 18:01:49 --

Вроде так дальше
$\forall X^k(t)\subset C^n [0,1]$
Существует последовательность $(P_n (t))^\infty \subset P [0,1]:P_n(t)$ равномерно а может и не равномерно сходится к $X(t)$ на $[0,1] \Rightarrow P_n\rightarrow X$ по норме$||.||$
все это означает что $\overline{P[0,1]}\subset C^n [0,1]$
а потом не знаю как

[gris]

Какая-то путаница с буквами. Вы напишите всё-таки норму, или я не ошибся?
Рассматривается проcтранство n-раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке ноль один. Норма равна сумме максимумов значений самой функции и производных до n-ной включительно. Так это?

[Scout]

Так!

[ewert]

По теореме Вейерштрасса для любого $\varepsilon>0$ найдётся многочлен$P(t)$ такой, что $\left|X^{(n)}(t)-P^{(n)}(t)|<\varepsilon\ (\forall t\in[0;1])$. Такой многочлен строится очень не однозначно; в частности, к нему можно всегда можно добавить $t^{n-1}$ с любым коэффициентом -- значения $P^{n}(t)$ от этого не изменятся. Так вот и добавим подобное слагаемое так,чтобы оказалось $X^{(n-1)}(0)=P^{(n-1)}(0)$. Тогда после интегрирования будет

$\left|X^{(n-1)}(x)-X^{(n-1)}(x)\right|=\left|(X^{(n-1)}(0)-P^{(n-1)}(0))+\int\limits_0^x(X^{(n)}(t)-P^{(n)}(t))\right|dt<$
$<\varepsilon\cdot1\ (\forall x\in[0;1])$.

И т.д.; по индукции для достроенного таким образом многочлена будет $\max\limits_{t\in[0;1]}\left|X^{k}(t)-P^k(t)\right|<\varepsilon\ \ (\forall k=0,1,2,\ldots,n)$.

--------------------------------------------------------
(хотя через аналитические функции, в обход Вейерштрасса, выглядит естественнее)

[Scout]

Получается что все доказано да? Просто полиномы с рац-ми коэффициентами счетны по умолчанию, у нас доказывал преподаватель.

[Scout]

Тут мне еще долго делать))))) Препод сказал надо разложить мне =0 этим и займусь

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

gris в сообщении #291006 писал(а):

$k$ - степень??? Оригинально...

Степень $(k)$