По теореме Вейерштрасса для любого

найдётся многочлен

такой, что
![$\left|X^{(n)}(t)-P^{(n)}(t)|<\varepsilon\ (\forall t\in[0;1])$ $\left|X^{(n)}(t)-P^{(n)}(t)|<\varepsilon\ (\forall t\in[0;1])$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/5/d352c7f51dc6df495765f5492bc02de982.png)
. Такой многочлен строится очень не однозначно; в частности, к нему можно всегда можно добавить

с любым коэффициентом -- значения

от этого не изменятся. Так вот и добавим подобное слагаемое так,чтобы оказалось

. Тогда после интегрирования будет

![$<\varepsilon\cdot1\ (\forall x\in[0;1])$ $<\varepsilon\cdot1\ (\forall x\in[0;1])$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/8/ed81a3747a87e201663f59156c67c09e82.png)
.
И т.д.; по индукции для достроенного таким образом многочлена будет
![$\max\limits_{t\in[0;1]}\left|X^{k}(t)-P^k(t)\right|<\varepsilon\ \ (\forall k=0,1,2,\ldots,n)$ $\max\limits_{t\in[0;1]}\left|X^{k}(t)-P^k(t)\right|<\varepsilon\ \ (\forall k=0,1,2,\ldots,n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/9/c495c8ed41bd14a33b94420d9c4e92c582.png)
.
--------------------------------------------------------
(хотя через аналитические функции, в обход Вейерштрасса, выглядит естественнее)