Сходимость ряда

[VTV]

Каждое число $x\in [0,1)$ можно представить в виде $x=\frac{a _1}{2}+\frac{a _2}{2^2}+\frac{a _3}{2^3}+\ldots$, где $a_i$ есть 0 или 1 (представление в двоичной системе). Пусть $M$ --- множество тех $x$, для которых ряд $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{b_i}{p_i}$ cходится, где $b_i=1$ если $a_i=1$ и $b_i=-1$ если $a_i=0$, $p_i$ --- $i$-тое простое число. Оценить меру множества $M$.

[Gafield]

Насколько я помню, ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}n$ расходится п.в. Чтобы прикинуть результат, можно попробовать сначала вставить в доказательство вместо $p_n$ что-нибудь попроще, типа $n\ln n$.

[ИСН]

Скорее всего, будет сходиться для всех "нормальных" чисел (таковы, как известно, "почти все", только ткнуть пальцем нельзя ни в одно, кроме специально построенных).

[RIP]

Насчёт всех нормальных чисел не знаю (не уверен, что для всех), но легко доказать, что мера $M$ равна 1. Поскольку $p_n=n\log n\left(1+O\left(\frac{\log\log n}{\log n}\right)\right)$ при $n\to\infty$, то можно $p_n$ заменить на $n\log(n+1)$. Далее, удобно рассмотреть немного другой ряд. А именно, если обозначить $B(n)=\sum_{k=1}^nb_k$, то сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty\frac{B(n)}{n^2\log(n+1)}$ (преобразование Абеля). Рассматривая $b_n$ как независимые в совокупности случайные величины, по неравенству Чернова (см., например, этот пост), получаем, что при всех $n$ справедиво неравенство $\mu\{x\in[0;1):|B(n)|\ge2\sqrt{n\log n}\,\}<2n^{-4/3}$. Поскольку $\sum_{n=1}^\infty n^{-4/3}<\infty$, то, по лемме Бореля-Кантелли (по её тривиальной половине), для почти всех $x$ справедлива оценка $B(n)=O\bigl(\sqrt{n\log(n+1)}\,\bigr)$, откуда получаем требуемое.

[Padawan]

RIP
А что такое нормальное число? Судя по Вашему посту, это какой-то термин?

[ИСН]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0% ... 0%BB%D0%BE

[RIP]

Тогда уж лучше забугорную вики или вольфрам смотреть: там инфы побольше (русская вики уж больно куцая, там даже нормального определения нет).