2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда
Сообщение21.02.2010, 09:41 


28/03/09
34
Каждое число $x\in [0,1)$ можно представить в виде $x=\frac{a
_1}{2}+\frac{a
_2}{2^2}+\frac{a
_3}{2^3}+\ldots$, где $a_i$ есть 0 или 1 (представление в двоичной системе). Пусть $M$ --- множество тех $x$, для которых ряд $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{b_i}{p_i}$ cходится, где $b_i=1$ если $a_i=1$ и $b_i=-1$ если $a_i=0$, $p_i$ --- $i$-тое простое число. Оценить меру множества $M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение21.02.2010, 13:16 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Насколько я помню, ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}n$ расходится п.в. Чтобы прикинуть результат, можно попробовать сначала вставить в доказательство вместо $p_n$ что-нибудь попроще, типа $n\ln n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение21.02.2010, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Скорее всего, будет сходиться для всех "нормальных" чисел (таковы, как известно, "почти все", только ткнуть пальцем нельзя ни в одно, кроме специально построенных).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение21.02.2010, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Насчёт всех нормальных чисел не знаю (не уверен, что для всех), но легко доказать, что мера $M$ равна 1. Поскольку $p_n=n\log n\left(1+O\left(\frac{\log\log n}{\log n}\right)\right)$ при $n\to\infty$, то можно $p_n$ заменить на $n\log(n+1)$. Далее, удобно рассмотреть немного другой ряд. А именно, если обозначить $B(n)=\sum_{k=1}^nb_k$, то сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty\frac{B(n)}{n^2\log(n+1)}$ (преобразование Абеля). Рассматривая $b_n$ как независимые в совокупности случайные величины, по неравенству Чернова (см., например, этот пост), получаем, что при всех $n$ справедиво неравенство $\mu\{x\in[0;1):|B(n)|\ge2\sqrt{n\log n}\,\}<2n^{-4/3}$. Поскольку $\sum_{n=1}^\infty n^{-4/3}<\infty$, то, по лемме Бореля-Кантелли (по её тривиальной половине), для почти всех $x$ справедлива оценка $B(n)=O\bigl(\sqrt{n\log(n+1)}\,\bigr)$, откуда получаем требуемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение22.02.2010, 18:12 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
RIP
А что такое нормальное число? Судя по Вашему посту, это какой-то термин?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение22.02.2010, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0% ... 0%BB%D0%BE

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение23.02.2010, 07:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Тогда уж лучше забугорную вики или вольфрам смотреть: там инфы побольше (русская вики уж больно куцая, там даже нормального определения нет).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group