Полиномиальный коэффициент

[caxap]

В целых числах полиномиальный коэффициент выражается просто:

$${n \choose k_1,\ \ldots,\ k_n}=\frac{n!}{k_1!\cdots k_n!},\qquad(k_1+\cdots+k_n=n)$$

Есть ли обобщение для нецелых $n$ ($\mathbb R$ или $\mathbb C$)?

Для биномиальных коэффициентов такое обобщение для $n \in \mathbb C$:

$${n \choose k}=\frac{n^{\underline k}}{k!},$$

где $n^{\underline k} = n(n-1)\cdots(n-k+1)$. Благодяря чему можно раскладывать в бином Ньютона при любом комплексном показателе (только суммирование идёт по всем $k\geqslant 0$). Для полиномиальных коэфф. (и соответсвено полиномиальной теоремы) я ничего не нашёл в интернете.

[ИСН]

Там банально. Такая же штука, только снизу не один факториал, а несколько.

[caxap]

ИСН
Не совсем понял, а что в числителе?

P. S. Заменить факториалы гамма-функцией не предлагать, хочется чего-то простого, типа $n^{\underline k}$.

[PAV]

Может быть, использовать выражение полиномиального коэффициента через биномиальные:

$${n\choose k_1,\cdots,k_m}={n\choose k_m}{n-k_m\choose k_1,\ldots,k_{m-1}}$$

и далее аналогично по индукции?

-- Чт фев 18, 2010 14:46:47 --

Насколько я понимаю, чтобы это работало, необходимо, чтобы ровно один из слагаемых $k_i$ был бы нецелым, а все остальные целые, которые и будем по одному исключать. Вопрос - будет ли результат одинаковым при различном порядке исключения?

[ИСН]

Тут нет места никаким "может быть". Разложим $(1+x+y)^{n}$ в ряд Тейлора. Коэффициент при $x^2y^3$ будет $n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot(n-4)\over 2!\cdot 3!$. Это он.

[meduza]

Если $n\in \mathbb R$ и, для определённости, $k_1,\ldots,k_{m-1}\in \mathbb N$, то

$${n \choose k_1,\ \ldots,\ k_m}=\frac{n^{\underline{k_1+\cdots+k_{m-1}}}}{k_1!\cdots k_{m-1}!}\ .$$

(Оффтоп)

Напр. ${10{,}5 \choose 2,\ 3,\ 5{,}5}$:

(%i6) (gamma(10.5+1))/(2!*3!*gamma(5.5+1));
(%o6) 3444.4921875
(%i7) (10.5*9.5*8.5*7.5*6.5)/(2!*3!);
(%o7) 3444.4921875

[maxal]

уже обсуждали: topic20355.html