Показательное уравнение

[zodiac]

Дана функция $\Phi(v) = \frac{1}{1+e^(-v)} $ и задание "как необходимо изменить v, чтобы на выходе получить то же самое значение?". Как я понимаю нужно решить уравнение $\frac{1}{1+e^(-v)} = v $? Вот только не очень понимаю как его решить аналитически.

[ShMaxG]

Задание не понятное/некорректное. Какой выход? что значит "то же"? значение чего?
Уточнить надо.
А уравнение ваше только численно решается.

[zodiac]

Вообще, само задание звучит вот так:

Т.е. "Пусть функция активации нейрона $\phi(v)$ имеет вид логистической функции из задачи 1.1, где v - индуцированное локальное поле, а параметр наклона a может изменяться. Пусть $x_1, x_2, ..., x_m$ - множество входных сигналов, передаваемых на вход нейрона, а b - пороговое значение. Для удобства исключим из рассмотрения параметр a, получив в результате следующую формулу:

$$ \phi(v) = \frac{1}{1+e^(-v)} $$

Как нужно изменить входной сигнал $x_1, x_2, ..., x_m$, чтобы получить на выходе прежний сигнал? Ответ обоснуйте."
При этом, индуцированное локальное поле нейрона k есть $v_k = u_k+b_k$, где $b_k$ - порог, а $u_k = \sum_{j=1}^{m}w_{kj}x_j$ и $y_k = \phi(u_k+b_k)$ ($w_{kj} $ -весовые коэффициенты, $y_k$ - выходной сигнал нейрона).

[ShMaxG]

Ого, а мы должны были типа догадаться до этого
Как я понял, сигнал на выходе должен быть равен сигналу на входе. Т.е. хотим $x_k=y_k=\phi(u_k+b_k)=\phi(\sum_{j=1}^{m}w_{kj}x_j+b_k)=\frac{1}{1+\exp(-\sum_{j=1}^{m}w_{kj}x_j-b_k)}$.
До сих пор я вас правильно понял?

[zodiac]

Ага
А что вы подразумеваете под $x_k$?

[ShMaxG]

То же, что и вы. ($k$-ый входной сигнал).

[zodiac]

Тогда да, именно это и хотим:)

[ShMaxG]

Я сейчас перечитал все заново и вот что думаю. Может имелось ввиду "Как бы вы изменили вход, чтобы получить тот же выход, как на предыдущем [входе]"?
Вот есть у нас вход $x_k$. Ему соответствует выход $y_k$. А теперь есть вход $x'_k$ и хотим, чтобы ему соответствовал тот же выход $y_k$. Тогда учитывая особенности функции фи, легко придти к тому, что $W(x-x')=0$, где $W$ - весовая матрица, а иксы - векторы входов.

[zodiac]

Хм, вполне возможно. А то меня что-то зациклило, что надо получить вход = выход %)

[ShMaxG]

Просто в этом случае это вполне решаемая нормальная задача.
То есть надо выяснить, какие $x'$ подходят для того, чтобы $W(x-x')=0$.
Собственно, разобрать надо всего 2 случая.

[zodiac]

Что-то я не совсем понял про какие два случая вы говорите. Разве функция фи будет давать одно значение при разных иксах?

zodiac,

если показатель степени (или индекс) длинный, его суют в фигурные скобки: e^{...} .
Сравните $e^{-v},\:e^{(-v)}\mbox{~~и Ваше~~}e^(-v)$.

[ShMaxG]

2 случая - когда весовая матрица вырождена и нет.

[zodiac]

А в данном случае матрица W не будет вектором? Или это не повлияет?

[ShMaxG]

В уравнении $W(x-x')=0$ этот ноль - векторный ноль, естественно. А $W$ - именно матрица.

[zodiac]

Дык у нас же W неизвестно?