Я знако со смешанным произведением. От этого вылупление определителя не становится понятней.
Смешанное произведение с определителем как таковым вроде бы и вообще не связано, если бы не одно "но". Векторное произведение, входящее в смешанное -- антисимметрично по своей натуре (ну или "в натуре"). А в сочетании с линейностью это и даёт определитель (ну почти, надо только в согласованности нормировок убедиться).