Неравенство

[arqady]

Sasha2 в сообщении #286042 писал(а):

Можно ли надеяться выйти на решение данной задачи путем решения вот такой промежуточной:
При заданном $p>{0}$ найти все такииие $m$, что неравенство
$\sqrt{x^2+py}+\sqrt{y^2+px} \ge m(x+y)$
является справедливым

По моему, - нет поскольку самое большое такое $m$ это $m=1$.

[Sasha2]

А если не $m(x+y)$, а $m\sqrt{xy}$?

[Sasha2]

И еще, а вот такое верное неравенство может ли помочь (ну Вы наверно знаете ведь решение)

$\sqrt{x^2+py}+\sqrt{y^2+px} \ge \sqrt{x^2+px}+\sqrt{y^2+py}$ ($p>0$)

[arqady]

Sasha2 в сообщении #286089 писал(а):

(ну Вы наверно знаете ведь решение)

Да.

[Sasha2]

Ну, а если так:
Отталкиваясь от следующего очевидного неравенства $x+y+z \ge \sqrt{3(xy+yz+xz)}$,
получаем, что для тех $k$, для которых справедливо неравенство
$\sqrt{a^2+kbc}\sqrt{b^2+kac}+\sqrt{b^2+kac}\sqrt{c^2+kbc}+\sqrt{c^2+kab}\sqrt{a^2+kbc} \ge (1+k)(ab+ac+bc)$
исходное неравенство будет заведомо справедливо.

Или и тут, уважаемый Аркадий, тоже нечего ловить?

[arqady]

Sasha2 в сообщении #286236 писал(а):

Ну, а если так:
Отталкиваясь от следующего очевидного неравенства $x+y+z \ge \sqrt{3(xy+yz+xz)}$,
получаем, что для тех $k$, для которых справедливо неравенство
$\sqrt{a^2+kbc}\sqrt{b^2+kac}+\sqrt{b^2+kac}\sqrt{c^2+kbc}+\sqrt{c^2+kab}\sqrt{a^2+kbc} \ge (1+k)(ab+ac+bc)$
исходное неравенство будет заведомо справедливо.

Или и тут, уважаемый Аркадий, тоже нечего ловить?

Оценка $x+y+z \ge \sqrt{3(xy+yz+xz)}$ очень грубая поскольку с ней нарушается равенство при $x=y=1$ и $z=0$, в то время как в исходном неравенстве для максимального $k$ это один из случаев достижения равенства.

[Sasha2]

Уважаемый Аркадий, а подскажите еще ну хотя бы такой момент.
Это вот неравенство в решении допускает ли представление как некоторая комбинация очевидных неравенств или же для его решения нужен какой-нибудь uvw метод?
Если так, то чего биться головой об стенку?

[arqady]

Sasha2, $uvw$ здесь, конечно, не поможет. Мне удалось доказать это неравенство и очень любопытно, как его можно было бы доказать по-другому. Спасибо Вам за Ваш интерес!

[Sasha2]

Это неравенство ест мне мозг уже целую неделю.
Ну где-то (если не совсем по олимпийски, а на игре с цифрами), то вот так интуитивно предполагаю, что выйти в конечном итоге должен примерно на вот это:
$\sqrt{2k} \le \sqrt{k+1}+\frac{1}{\sqrt{2}}$

[Sasha2]

Что касается того, что максимальное значение не может превышать указанное Вами, то тут такое рассуждение:
Исходное неравенство эквивалентно такому
$\frac{\sqrt{a^2+kbc}+\sqrt{b^2+kac}+\sqrt{c^2+kab}}{\sqrt{3(1+k)(ab+bc+ac)}} \ge 1$
Полагая здесь $a=b=n$ и $c=1$, а затем переходя к пределу при $n \to \infty$,
получаем, что (символы пределов я опускаю для краткости написания)
$\frac{\sqrt{n^2+kn}+\sqrt{n^2+kn}+\sqrt{1+kn^2}}{\sqrt{3(1+k)(n^2+2n)}} \ge 1$
И окончательно в предельной форме, разделив числитель и знаменатель на $n$, получим, что
$\frac{2+\sqrt{k}}{\sqrt{3(1+k)}} \ge 1$.

Но отсюда получается, что максимальное значение $\sqrt{k}$ равно $\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
А значит максимальное значение $k$ равно, ну короче то, которое указано Вами.
Но дальше опять затык. Не могу просто подступиться к тому, чтобы найти удобную и приемлемую оценку. Для значений k до 1 все легко и просто, а дальше никак.
Хотя наверно тут все на грани работает.

[Sasha2]

А вот еще, уважаемый Аркадий, не подскажите еще такой момент:
1) Отталкиваемся от следующего очевидного неравенства $\sqrt{ab+bc+ac} \ge \sqrt{3} \cdot\ \sqrt[3]{abc}$
2) Далее пытаемся доказать вот такое неравенство $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+p\cdot \sqrt[6]{xyz} \ge \sqrt{3(x+y+z)}$,
где параметр $p$ еще придется определить, в смысле подобрать так, чтобы данное неравенство было верным.

Или это тоже путь в никуда?

[arqady]

Sasha2 , оценки не должны нарушать достижние равенства в исходном неравенстве.

[Sasha2]

Ну а вообще такая оценка есть в природе?
В смысле Вам она известна?
Или Вы намекаете на то, что доказывать надо нечто такое
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+p\cdot \sqrt[6]{xyz} \ge \sqrt{(3+q)(x+y+z)}$,

[Sasha2]

Да, совсем пока запутался.
Может быть подсказку дадите элементарную, ну хотя бы нужно ли первое возведение в квадрат обеих частей искомого неравенства, или нужно как-то по-другому обходиться. Непонятно за что зачепиться.

[Sasha2]

Уже не варит башка.
Посплю и буду разбираться с оценкой такого типа:
$\sqrt{a^2+kbc} \ge \sqrt{(k+1)bc}+p \cdot \sqrt{|a^2-bc|}$, где параметр $p$ попробую подбирать.

Или опять не туда иду?