2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 делители 2010!
Сообщение27.01.2010, 20:03 
Найдите наибольшее натуральное $n$ , для которого каждое из чисел $k^k$ при $k=1,2,3\ldots n$ является делителем числа $2010!$

 
 
 
 Re: Помогите , пожалуйста , решить задачу.
Сообщение27.01.2010, 20:13 
Аватара пользователя
Каждый год кто-нибудь это приносит. Прошлый раз было, кажется, 40 с чем-то; проверьте на руках.

 
 
 
 Re: Помогите , пожалуйста , решить задачу.
Сообщение27.01.2010, 20:17 
Знаю что около 40 - ответ.
Но хотелось бы узнать как решать эту задачу.

 
 
 
 Re: Помогите , пожалуйста , решить задачу.
Сообщение27.01.2010, 21:04 
Аватара пользователя
В какой степени простое число $p$ входит в разложение $n!$, знаете?

 
 
 
 Re: Помогите , пожалуйста , решить задачу.
Сообщение27.01.2010, 21:08 
Начать можно, например с того, что для всех $k < \sqrt{2010}$ в разложение $2010!$ входят сомножители $k, 2 k, 3 k, ..., k^2$.

 
 
 
 Re: Помогите , пожалуйста , решить задачу.
Сообщение28.01.2010, 17:50 
До этого я догадался.
А как использовать это - нет.
Не подскажете?

 
 
 
 Re: Помогите , пожалуйста , решить задачу.
Сообщение28.01.2010, 18:04 
Раз в $2010! ~ k$ раз встречается сомножитель, кратный $k$, значит $k^k | 2010!$.

Но это только начало. Потом надо ещё убедиться, что $45^{45} | 2010!$ и $46 ^{46} | 2010!$. И закончить на том, что $47^{47} \nmid 2010!$.

 
 
 
 Re: Помогите , пожалуйста , решить задачу.
Сообщение29.01.2010, 14:45 
Благодарю.Сейчас попытаюсь.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group