делители 2010!

[Grappy]

Найдите наибольшее натуральное $n$ , для которого каждое из чисел $k^k$ при $k=1,2,3\ldots n$ является делителем числа $2010!$

[ИСН]

Каждый год кто-нибудь это приносит. Прошлый раз было, кажется, 40 с чем-то; проверьте на руках.

[Grappy]

Знаю что около 40 - ответ.
Но хотелось бы узнать как решать эту задачу.

[ИСН]

В какой степени простое число $p$ входит в разложение $n!$, знаете?

[Maslov]

Начать можно, например с того, что для всех $k < \sqrt{2010}$ в разложение $2010!$ входят сомножители $k, 2 k, 3 k, ..., k^2$.

[Grappy]

До этого я догадался.
А как использовать это - нет.
Не подскажете?

[Maslov]

Раз в $2010! ~ k$ раз встречается сомножитель, кратный $k$, значит $k^k | 2010!$.

Но это только начало. Потом надо ещё убедиться, что $45^{45} | 2010!$ и $46 ^{46} | 2010!$. И закончить на том, что $47^{47} \nmid 2010!$.

[Grappy]

Благодарю.Сейчас попытаюсь.