Спектр оператора

[Lesobrod]

Известно ( в первом приближении ), что гармонические и квазигармонические
колебания имеют дискретный (обычно счётный) спектр, а хаотические процессы
характеризуются непрерывным спектром.
Вопрос 1. Так и не понял, можно ли для колебательной системы
ввести некий оператор, спектр которого будет связан со спектром
собственных частот?
Вопрос 2. Существует ли пример дифференциального оператора
( кроме тривиальных, как например, оператор импульса $ih\frac{\partial}{\partial x}$ в квантовой механике)
с непрерывным спектром?

[ewert]

Lesobrod в сообщении #283190 писал(а):

Вопрос 2. Существует ли пример дифференциального оператора
( кроме тривиальных, как например, оператор импульса в квантовой механике)
с непрерывным спектром?

(первого вопроса не понял: кто это вообще за зверь такой -- "спектр
собственных частот" -- как противоположность просто спектру?...)

Мало того что существует. Правильнее поставить вопрос иначе: а с какой стати вообще спектр не должен иметь непрерывной составляющей?... Это требование в некотором смысле даже и неестественно.

И вовсе не в дифференциальности оператора тут дело. Пожалуйста, вот Вам сугубо интегральный оператор -- с ядром $e^{-|x-y|}$, действующий в $L_2(\mathbb R)$. Его спектр сугубо непрерывен и заполняет собой некоторый отрезок.

[terminator-II]

Lesobrod в сообщении #283190 писал(а):

Известно ( в первом приближении ), что гармонические и квазигармонические
колебания имеют дискретный (обычно счётный) спектр, а хаотические процессы
характеризуются непрерывным спектром.

точнее говоря, это некая мантра, которую произносят, когда пытаются объяснить физикам идеи эргодической теории.
Вам надо почитать для начала: Синай Введение в эргодическую теорию

[ИСН]

Я смотрю на это с точки зрения частицы в яме. Если яма достаточно глубокая, то будут дискретные состояния, а выше - непрерывный спектр. Если яма бесконечно глубокая, то - только дискретные состояния.

[ewert]

ИСН в сообщении #283225 писал(а):

Если яма бесконечно глубокая, то - только дискретные состояния.

Бесконечно не глубокая, а высокая.