Логарифмы

[Yerkhan]

Даны два множества $B=\{x\in\mathbb{R}|\log_3(x+2)+\log_2(3^x-x)=3^x-1\}$; и $A=\{x\in\mathbb{R}|3^x=x+2\}$ , где $\mathbb{R}$- множество вещественных чисел. Докажите, что $A\subset B$ и что множество $B$ содержит так и рациональные, так и иррациональные числа.

[gris]

Почему эта задача олимпиадная?
Подстановкой покажите, что условие на А сильнее, чем на В.
Рациональный корень сразу виден.

[ShMaxG]

+ Докажите, что уравнение $3^x = x+2$ имеет ровно 2 корня, один из которых иррациональный. Сделать это можно от противного, предположив, что $x=m/n$ - несократимая и т.д. Причем понятно в каких пределах можно выбирать $m$, посмотрев, где примерно находятся корни.

[Sasha2]

А зачем так сложно:
Из $Из 3^x=x+2$ имеем $\log_3 (x+2)=x$ и $\log_2 (3^x-1)=1$
Подставляя, получаем, что $x+1=3^x-1$, что эквивалентно соотношению, определяющему множество A.

[AD]

Yerkhan, я в Вашем сообщении поправил формулы. Учитесь писать так же - процитируйте себя и всё поймёте. Вставлять вместо $\TeX$а HTML-entities (как Вы вставили значок $\in$) крайне некрасиво, ибо у многих читателей это будут просто квадратики.

Да, а еще я исправил $\in$ на $\subset$ в самом конце, так как это правильно. Понятно, да?

[ShMaxG]

Sasha2
Ну это-то как раз понятно, gris же это и имел ввиду. А про иррациональные корни мне что-то другое как-то в голову не приходит...

[Yerkhan]

AD спасибо. Просто я тут новенький только учусь.А вот в этой задаче я не смог найти иррациональный корень. А рациональный это 1. Его легко найти. Помогите разобраться. Спасибо за помощь!

[ShMaxG]

Yerkhan
Судя по задаче, иррациональный корень и не нужно находить (более того, он доступен только в численном виде, насколько я понимаю). Нужно лишь выяснить, может ли второй корень быть рациональным, не более того.

[Sasha2]

Да нет, уважаемый ShMaxG.
У меня тоже не все так уж гладко. Еще нужно показать, что $3^x-1>0$.
Ну грубо говоря, показать, что корни позволяют такие разбивки делать. С первой очевидно, так как $x>-2$. А вот со второй не очень.

[ShMaxG]

Sasha2 в сообщении #282610 писал(а):

Еще нужно показать, что $3^x-1>0$.

Зачем? Тот, что иррациональный - меньше нуля и это не выполнено. Или я что-то не понимаю?

Sasha2 в сообщении #282610 писал(а):

Ну грубо говоря, показать, что корни позволяют такие разбивки делать.

Что значит позволяют, какие разбивки? Ну вот знаем мы, что $3^x = x+2$ имеет два корня. Обозначим любой из них $x_0$, и подставим в уравнение из множества $A$. Ясно же, что $3^x_0-x_0=2>0$ и $x_0+2=3^x_0>0$. Что ведет к тому, что этот корень $x_0$ принадлежит множеству $A$.

[ewert]

Для $f(x)=3^x-x-2$: на минус бесконечности -- плюс, в нуле -- минус, на минус бесконечности -- снова плюс. Это уже гарантирует минимум два корня, один из которых отрицателен. Собственно, больше их и нет (из-за выпуклости), но это уже и не важно. Достаточно того, что есть отрицательный корень, который, естественно, не может быть целым. А тогда он иррационален (с этим придётся малость повозиться, ничего не поделаешь; но, возможно, авторами задачи эта возня и не предполагалась).

[Yerkhan]

Sasha2 в сообщении #282503 писал(а):

А зачем так сложно:
Из $Из 3^x=x+2$ имеем $\log_3 (x+2)=x$ и $\log_2 (3^x-1)=1$
Подставляя, получаем, что $x+1=3^x-1$, что эквивалентно соотношению, определяющему множество A.

По моему тут ошибка $\log_2 (3^x-1)=1$ тут вроде должно быть $\log_2 (3^x-x)=1$

[gris]

Я хотел сказать, что $A=\{x\in\mathbb{R}|3^x=x+2\}$

$x\in A \Longrightarrow 3^x-x=2>0; x+2=3^x>0\Longrightarrow \log_3(x+2)+\log_2(3^x-x)=\log_3 3^x+\log_2 2=x+1=x+2-1=3^x-1 \Longrightarrow x\in B \Longrightarrow A\subset B$

собственно, уже было сказано.

Если мы покажем, что второй корень уравнения $3^x=x+2$ иррационален, то нам можно и не трогать $B$.
Но похоже, что у уравнения $B$ тоже два корня, тех же самых и $A=B$ попросту.

Наверное, в определении иррациональности и состояла олимпиадность задачи. ясно, что корень $-2<x<-1$

Мне кажется, надо сделать подстановку $y=x+2$ и решать уравнение
$3^{y-2}=y$ или $3^y=9y$. У него один корень равен 3, а второй маленький положительный, заведомо меньший 1. Допустим, $\dfrac mn$, где $0<m<n$.

То есть $3^{\dfrac mn}=9\dfrac mn$ или $3^m=\left(9\dfrac mn\right)^n$
Ничего нельзя отсюда выковырять?

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #282625 писал(а):

То есть $3^{\dfrac mn}=9\dfrac mn$ или $3^m=\left(9\dfrac mn\right)^n$
Ничего нельзя отсюда выковырять?

$$ 3^{m-2n} = \left( \frac{m}{n} \right)^n $$

Можно считать, что $\text{НОД}(m,n) = 1$. Получаем, что $m < n < 2n$, $m = 1$, $n = 3^k$ при целом $k > 0$, $3^{1-2n} = 3^{-nk}$ и $2n-1=nk$. Правая часть равенства делится на $n$, левая не делится.

Надеюсь, ничего не упустил из виду.

[ewert]

Просто $3^{m\over n}={p\over q}$, т.е. $q^n\cdot3^m=p^n$, причём можно считать, что $m<n$ и, естественно, $m>0$. При этом или $p$, или $q$ не содержит троек. Первый вариант невозможен, а во втором случае $q^n=p_1^n\cdot3^{m_1}$, где $m_1\equiv n-m>0$, что тоже невозможно. Стандарт.