Нахождение углов в прирамиде!

[danil199412]

В правильной пирамиде $SABC$ отношение бокового ребра к стороне основания равно $2:1$. На ребрах $AB$ и $AC$ взяты соответственно точки $M$ и $K$ - середины этих ребер. Найдите угол между прямыми $SM$ и $BK$.
Помогите решить...рисунок есть, а как решить непонимаю, как подступиться к этой задаче?=(

[Профессор Снэйп]

Координатным методом не пробовали? Если он разрешён, то задача тривиальна. Только придётся повозиться с вычислениями

[danil199412]

Непробовал...мы его не изучали...но сейчас попробую сам изучить) Есть ещё предложения?

-- Чт янв 21, 2010 04:50:31 --

И думаю этот метод тут неудобен...может есть что-нибудь более рациональное?

[Sasha2]

Ну почему же не подступиться.
Сечение $SMK$ - это равнобедренный треугольник, у которого
1) Основанием является средняя линия треугольника, лежащего в основании этой пирамиды
2) Боковой стороной - медиана (она же биссектриса, она же высота) равнобедренного трегольника, представляющего боковую грань этой пирамиды.

Остается только выполнить параллельный перенос ребра $AB$, чтобы убедиться в том, что угол $\angle SMK$ равен искомому углу.

[Профессор Снэйп]

danil199412 в сообщении #282148 писал(а):

И думаю этот метод тут неудобен...может есть что-нибудь более рациональное?

Ну как неудобен? Он удобен тем, что не надо думать. Просто вычисляешь координаты нужных точек, потом записываешь два направляющих вектора двух прямых, считаешь их скалярное произведение, длины и находишь косинус нужного угла. Вычислений много, но работы мозга совершенно не требуется. Работает, по сути, мозжечок

[Батороев]

Sasha2 в сообщении #282153 писал(а):

Остается только выполнить параллельный перенос ребра $AB$, чтобы убедиться в том, что угол $\angle SMK$ равен искомому углу.

$\angle SMK$ не равен искомому углу.

По-видимому, не самый короткий путь, но соображать некогда:
Провести отрезок $MN$, параллельный $BK$, и по теореме косинусов найти $\angle SMN$ из одноименного треугольника $SMN$, предварительно рассчитав все его стороны.

[danil199412]

Ок...сейчас попробую не гарантирую что получиться=) Но постараюсь...если будет непонятно напишу=)

[Sasha2]

Да в уме решал, вот и ошибся.
Но параллельный перенос BK действительно необходим.
Что такое SK и SM - это правильно медианы.
А вот MN, как предлагает уважаемый Батороев, тоже находится легко из прямоугольных треугольников.
В самом деле, треугольник BMK равнобедренный с вершиной в точке M (BM=BK) и с углом при вершине, равным 120 градусам (так как угол AMK равен 60 градусам).
Следовательно проведя MN параллельно BK, получаем прямоугольный треугольник MKN, в котором угол при вершине M равен 30 градусам.
Ну а дальше уже нетрудно найти MN.
И осталось найти SN из прямоугольного треугольника SKN.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #282236 писал(а):

Ну а дальше уже нетрудно найти MN.

MN найти ещё проще, чем нетрудно: это -- половина высоты основания.

[Sasha2]

Ну уж, уважаемый Ewert, я просто не стал выписывать этот очевидный факт, что в прямоугольном треугольнике с углом в 30 градусов катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы, памятуя о том, что человек, решающий стереометрические задачи, это должен знать от винта.

[danil199412]

=)) знаю я это...

[ewert]

(Оффтоп)

Sasha2 в сообщении #282241 писал(а):

я просто не стал выписывать этот очевидный факт, что в прямоугольном треугольнике с углом в 30 градусов катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы,

А это совсем другой фвкт. А MN равен половине высоты просто потому, что это -- средняя линия в соотв. прямоугольном треугольнике, и 30 градусов тут даже и не при чём.

[danil199412]

Нет...я сказал что я имею предстовление о том что в прямоугольном треугольнике с углом в 30 градусов катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы. и только об этом...я сейчас начал решвть задачу заного потому что запутался...разберусь думаю...=)

-- Чт янв 21, 2010 13:19:33 --

Вот я прорешал немного...понять не могу одного что нам даст сторона $MN$ ? Мы нашли угол при вершине треугольника $MNK$ = 30 градусам...может я чегото не могу понять?

[Батороев]

danil199412 в сообщении #282251 писал(а):

Вот я прорешал немного...понять не могу одного что нам даст сторона $MN$ ?

Необходимо найти длину всех сторон треугольника $SMN$.

[danil199412]

Вот смотрите я дошол до нахождения угла при вершине треуглника $MNK$ = 30 градусам, дальше нам нужно найти MN?