исследовать ряд на сходимость

[T-Mac]

Нужно исследовать ряд на поточечную и равномерную сходимость

$$\sum\frac {\sin x^n}{n^x}$$

$$0\leqslant x$$

начать наверное нужно с поточечной сходимости...
ясно что при

$$ x \geqslant 2 $$

cходимость есть...но вот как быть с иксом от нуля до двух непонятно...подскажите ..

[gris]

При $x=0$ сходится.
При $x\in (0;1)$ аргумент синуса стремится к нулю, можно по эквивалентности заменить. А знаменатель на единичку (даже).
С $x\in [1;2)$ вроде бы ясно

[ewert]

Ясно, что при всех неотрицательных иксах (кроме единички) сходится, а при единичке (не менее ясно) что расходится.

Ясно также, что сходимость равномерна при $x\to+0$ и при $x\to+\infty$. Достаточно ясно также, что равномерности нет при $x\to1-0$.

Несколько менее очевидно (поскольку там нет знакоопределённости), что и при $x\to1+0$ равномерности тоже нет. Но всё-таки нет.

Да, кстати, почему при отрицательных иксах нету сходимости -- я тоже не знаю. Очевидно, конечно, но -- доказать...

[T-Mac]

при еденице понятно
в нуле то же
при х от 0 до единицы получаем

$$\sum x^n$$

при маленьких х понятно, а вот при почти еденице почему есть сходимость?
при х от 1 до 2 то же не оч понятно почему есть сходимость...

[ИСН]

Ну смотрите:
При каких $x$ сходится ряд $\sum x^n$?
А при каких $x$ сходится ряд $\sum {1\over n^x}$?

[T-Mac]

я понял!

$$\sum x^n $$

сходиться при х от 0 до 1 (то что как раз нужно) (по признаку коши) и расходиться при больших еденице

$$\sum n^x $$

сходиться при иксах меньщих -1
то есть исхоный при иксах больших 1

[ewert]

Ох нихренасебе.

Очевидно, что ряд сх-ся при $|x|<1$ (поскольку там по абсолютной величине числитель явно забивает знаменатель).

И что при $x>1$ тоже сходится (поскольку там знаменатель не менее очевидно забивает числитель).

Про $x=\pm 1$ все вроде пришли к обоюдоудовлетворению.

Остался только случай $x<-1$ (вроде и очевидно, но как формально доказать -- некоторая проблема, как это ни глупо). И, что главное -- доказать неравномерность сходимости в окрестностях особых точек, за исключением бесконечности, в которой всё очевидно (причём при подходе с разных сторон к тем точкам потребуются отдельные техники).

-------------------------------------------------
Кстати, я перестал понимать, что аффтар той задачки имел в виду. Если воспринимать её буквально -- то она совсем не так уж и тривиальна, тут надо хоть сколько-то, да покорячиться. А для учебных задач это не вполне спортивно.

[gris]

Но там же написано, что $x\geqslant 0$ хотя и в непривычном виде .

[T-Mac]

да правильно при положительных иксах надо исследовать ряд
аффтар действительно что то говорил по поводу отрицательных икс....

-- Вт янв 19, 2010 18:58:44 --

теперь насчет равномерной сходимости понятно что при х больших двух равномерная сходимость есть
а вот при остальных икс я не знаю...

[gris]

А на каких интервалах Вы собираетесь исследовать равномерную сходимость? Почему именно точка $x=2$ Вас так привлекает?

[T-Mac]

ну при положитеьных надо исследовать
точка мне нравиться потому что там понятно что есть равномерная сходимость

[gris]

Хм. Я предполагал, что в точке бывает только просто (поточечная) сходимость, а равномерная - на отрезке или интервале.

На любом интервале $[a;\infty), a>1$ работает признак Вейерштрасса.

[T-Mac]

на всей оси точно нет ибо там не везде есть поточечная...
значит надо смотреть на отрезке...
тут не очень понятно как это делать

[gris]

На интервале $[0;a], a<1$ тоже Вейерштрасс. На любом интервале, содержащем 1, ясно, что нет равномерной сходимости.
Осталось $[0;1)$ и $(1;\infty)$

[Padawan]

на $(0; 1)$ и на $(1; 2)$ нет равномерной сходимости, так как ряд расходится в точке $x=1$, а его частичные суммы - непрерывные функции. Следовательно не выполнен критерий Коши равномерной сходимости.