2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 исследовать ряд на сходимость
Сообщение18.01.2010, 10:06 


19/03/08
211
Нужно исследовать ряд на поточечную и равномерную сходимость
$$\sum\frac {\sin x^n}{n^x}$$
$$0\leqslant x$$

начать наверное нужно с поточечной сходимости...
ясно что при $$ x \geqslant 2 $$ cходимость есть...но вот как быть с иксом от нуля до двух непонятно...подскажите ..

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение18.01.2010, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
При $x=0$ сходится.
При $x\in (0;1)$ аргумент синуса стремится к нулю, можно по эквивалентности заменить. А знаменатель на единичку (даже).
С $x\in [1;2)$ вроде бы ясно

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение18.01.2010, 21:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ясно, что при всех неотрицательных иксах (кроме единички) сходится, а при единичке (не менее ясно) что расходится.

Ясно также, что сходимость равномерна при $x\to+0$ и при $x\to+\infty$. Достаточно ясно также, что равномерности нет при $x\to1-0$.

Несколько менее очевидно (поскольку там нет знакоопределённости), что и при $x\to1+0$ равномерности тоже нет. Но всё-таки нет.

Да, кстати, почему при отрицательных иксах нету сходимости -- я тоже не знаю. Очевидно, конечно, но -- доказать...

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение18.01.2010, 23:32 


19/03/08
211
при еденице понятно
в нуле то же
при х от 0 до единицы получаем $$\sum x^n$$ при маленьких х понятно, а вот при почти еденице почему есть сходимость?
при х от 1 до 2 то же не оч понятно почему есть сходимость...

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Ну смотрите:
При каких $x$ сходится ряд $\sum x^n$?
А при каких $x$ сходится ряд $\sum {1\over n^x}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 16:00 


19/03/08
211
я понял!
$$\sum x^n $$ сходиться при х от 0 до 1 (то что как раз нужно) (по признаку коши) и расходиться при больших еденице
$$\sum n^x $$ сходиться при иксах меньщих -1
то есть исхоный при иксах больших 1

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 17:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ох нихренасебе.

Очевидно, что ряд сх-ся при $|x|<1$ (поскольку там по абсолютной величине числитель явно забивает знаменатель).

И что при $x>1$ тоже сходится (поскольку там знаменатель не менее очевидно забивает числитель).

Про $x=\pm 1$ все вроде пришли к обоюдоудовлетворению.

Остался только случай $x<-1$ (вроде и очевидно, но как формально доказать -- некоторая проблема, как это ни глупо). И, что главное -- доказать неравномерность сходимости в окрестностях особых точек, за исключением бесконечности, в которой всё очевидно (причём при подходе с разных сторон к тем точкам потребуются отдельные техники).

-------------------------------------------------
Кстати, я перестал понимать, что аффтар той задачки имел в виду. Если воспринимать её буквально -- то она совсем не так уж и тривиальна, тут надо хоть сколько-то, да покорячиться. А для учебных задач это не вполне спортивно.

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Но там же написано, что $x\geqslant 0$ хотя и в непривычном виде :) .

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 17:54 


19/03/08
211
да правильно при положительных иксах надо исследовать ряд
аффтар :lol: действительно что то говорил по поводу отрицательных икс....

-- Вт янв 19, 2010 18:58:44 --

теперь насчет равномерной сходимости понятно что при х больших двух равномерная сходимость есть
а вот при остальных икс я не знаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
А на каких интервалах Вы собираетесь исследовать равномерную сходимость? Почему именно точка $x=2$ Вас так привлекает?

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 18:35 


19/03/08
211
ну при положитеьных надо исследовать
точка мне нравиться потому что там понятно что есть равномерная сходимость

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Хм. Я предполагал, что в точке бывает только просто (поточечная) сходимость, а равномерная - на отрезке или интервале.

На любом интервале $[a;\infty), a>1$ работает признак Вейерштрасса.

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 18:47 


19/03/08
211
на всей оси точно нет ибо там не везде есть поточечная...
значит надо смотреть на отрезке...
тут не очень понятно как это делать

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
На интервале $[0;a], a<1$ тоже Вейерштрасс. На любом интервале, содержащем 1, ясно, что нет равномерной сходимости.
Осталось $[0;1)$ и $(1;\infty)$

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 21:04 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
на $(0; 1)$ и на $(1; 2)$ нет равномерной сходимости, так как ряд расходится в точке $x=1$, а его частичные суммы - непрерывные функции. Следовательно не выполнен критерий Коши равномерной сходимости.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group