2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение19.01.2010, 23:03 


19/03/08
211
понятно далеко не все поэтому я начну по порядку
$$[0;a] , a>1$$
$$sup_{[0;a]} |\sum\frac{sinx^n}{n^x}| \leq\ sup_{[0;a]} \sum\frac{x^n}{n^x}$$ а дальше как оценивать ?

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение20.01.2010, 09:14 
Экс-модератор


17/06/06
5004
 i  T-Mac, а давайте учиться писать красиво!
Пора уже, 176 сообщений как-никак.
;)
$$\sup\limits_{[0;a]}\left|\sum\frac{\sin x^n}{n^x}\right| \leq\sup\limits_{[0;a]} \sum\frac{x^n}{n^x}$$
Код:
$$\sup\limits_{[0;a]}\left|\sum\frac{\sin x^n}{n^x}\right|\leq\sup\limits_{[0;a]}\sum\frac{x^n}{n^x}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение20.01.2010, 09:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А равномерна ли сходимость вблизи минус единицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение20.01.2010, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Дальше?
$$\sup\limits_{[0;a]}\left|\sum\frac{\sin x^n}{n^x}\right|\leqslant\sup\limits_{[0;a]}\sum\frac{x^n}{n^x}\leqslant\sum a^n$$ -сходящаяся геометрическая прогрессия.

PSe И не заметил, что написано $a>1$, а не $a<1$. Даже не подумал, что так возможно написать, после всего, что мы говорил о точке $x=1$. Если это не описка, тогда я уж и не знаю.
Насчёт отрицательных иксов строго чего-то никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение20.01.2010, 12:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
T-Mac в сообщении #281763 писал(а):
понятно далеко не все поэтому я начну по порядку
$$[0;a] , a>1$$
$$sup_{[0;a]} |\sum\frac{sinx^n}{n^x}| \leq\ sup_{[0;a]} \sum\frac{x^n}{n^x}$$ а дальше как оценивать ?

Дальше -- оценить, просто выкинув знаменатель.

Но это полезно лишь при иксах, меньших единицы. А при больших единицы надо, наоборот, выкидывать числитель.

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение20.01.2010, 13:18 


19/03/08
211
Это описка конечно..извените
при иксах от нуля до а - понятно
осталось при
$$[a;b], a>1 $$
что тут делать пока то же не ясно....

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение20.01.2010, 14:43 


19/03/08
211
если пробовать по коши то получаем что исходный ряд не больше чем
$$\sum\frac{1}{n^a}$$
хочеться сказать что это меньше эпсилон...но я чего то не уверен в правильности

-- Ср янв 20, 2010 15:52:17 --

не это не правильно - я уже понял...

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение22.01.2010, 12:31 


19/03/08
211
не, тут вроде все правильно ряд сходиться из предыдущего поста

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение22.01.2010, 22:21 


19/03/08
211
теперь разбираюсь со следующим рядом...
$$ \sum \frac{ln(1+n^x)}{n^x} $$
поточечная сходимость :
при х >1 cходиться , при меньших - ряд расходиться
Это правильно?
равномерная сходимость
на отрезке [a,b] есть , если a>2, при а>1 не понял как делать...
на луче то же не понятно ...

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение23.01.2010, 10:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
T-Mac в сообщении #282774 писал(а):
теперь разбираюсь со следующим рядом...
$$ \sum \frac{ln(1+n^x)}{n^x} $$
поточечная сходимость :
при х >1 cходиться , при меньших - ряд расходиться
Это правильно?

В принципе да; только что будет в самой единице?...

Равномерность можно, например, так: доказать отдельно для $x\in[a;3]$ при фиксированном $a>1$ и отдельно для $x\in[3;+\infty)$. Там понадобятся оценки одного типа, но всё же разные. На первом промежутке разбейте знаменатель на множители $n^{1+\delta}$ и $n^{x-1-\delta}$, где $a\equiv1+2\delta$ (первый множитель обеспечит сходимость, а второй равномерно убьёт логарифм). На втором промежутке -- с той же целью записать знаменатель просто как $n^x=n^{x\over2}\cdot n^{x\over2}$.

(Впрочем, первое разбиение сработает и на всём $[a;+\infty)$, только там оценка чуть менее очевидна.)

 Профиль  
                  
 
 Re: исследовать ряд на сходимость
Сообщение23.01.2010, 15:21 


19/03/08
211
Цитата:
только что будет в самой единице?...

в единице сходимости нет

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group