Сумма периодических функций

[Ираклий]

В Википедии нашел следующее:

Цитата:

Являются неверными утверждения относительно суммы периодических функций:

1) Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами $T_1$ и $T_2$ является функция с периодом $\text{НОК}(T_1,T_2)$.
2) Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией.
3) Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Периодическая_функция
По мимо орфографических тут есть и фактические ошибки: утверждение 1 истинно. С другой стороны, утверждение 3 действительно ложно. Утверждение 2 мне кажется истинным, но я не знаю, как его доказать. Как?

От модератора AD:
Поправил ссылочку на Википедию. А вот Firefox самостоятельно русские буковки в процентики переводит

[AD]

Ня?

-- Сб янв 16, 2010 21:12:36 --

Не, наверное, не совсем то.

[Sasha2]

На самом деле первое утверждение не является ошибкой.
Рассмотрите простой пример $\sin(\frac{x}{6})+\cos(\frac{x}{8})$
НОК там равен $24\pi$, но нетрудно видеть, что периодом $24\pi$ не является.
А вот, когда оба периода взаимно просты, то тогда наверно можно делать какие-либо высказывания в зависимости от четности произведения.

[AD]

Sasha2 в сообщении #281123 писал(а):

НОК там равен $24\pi$

Серьёзно? У второй функции период $16\pi$.

[Ираклий]

AD в сообщении #281106 писал(а):

:arrow: Ня?

-- Сб янв 16, 2010 21:12:36 --

Не, наверное, не совсем то.

По ссылке интересная тема, но, действительно, не совсем то. Так что же, вроде бы я не сложный вопрос задал. Кто что может сказать? Как, например, доказать, что $\sin x + \sin \pi x$ непериодична?

[mitia87]

1. Возьмем $x = \pi$. Тогда $\sin(\pi - T) + \sin(\pi(\pi - T))= \sin(\pi + T) + \sin(\pi(\pi + T))$ или $\sin(T) = \sin(\pi T) \sin(\pi ^ 2)$.
2. Возьмем $x = 0$. Тогда $\sin(0 - T) + \sin(\pi(0 - T))= \sin(0 + T) + \sin(\pi(0 + T))$ или $\sin(T) = - \sin(\pi T)$.
3. Отсюда $\sin(T) = \sin(\pi T) = 0$, что, очевидно, приводит к противоречию.

Более того, в условии число $\pi$ можно заменить на любое иррациональное число.

[Tamaraa]

3) Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.


как доказать, что утверждение 3 действительно ложно?

[svv]

Рассмотрите функцию, которая равна $1$ для вещественных чисел, представимых в виде $m+n\sqrt 2$, где $m$ и $n$ целые, и $0$ для остальных.

[Tamaraa]

Спасибо

[DeBill]

Ираклий
Нехорошо, однако. Цитирование, пардон, некорректное...
У Вики то все верно. Но:
1. Вики грит про ОСНОВНОЙ период суммы, а ТС это опустил.
2. ТС грит о НЕПРЕРЫВНЫХ функциях, а Вики - о любых
3. Вики дает пример. Боле того, этот пример подходит и для п.2 (как и пример svv): сумма с собой - периодична, хотя у слагаемых ЕСТЬ несоизмеримые периоды.

Ираклий в сообщении #281283 писал(а):

$\sin x + \sin \pi x$ непериодична?

А можно и так : комбинируя со второй производной - получим хочь первое слагаемое, хочь - второе...

-- 07.05.2016, 12:38 --

Ираклий в сообщении #281102 писал(а):

По мимо орфографических тут есть и фактические ошибки:

Это - да, тут - есть, и по миму, и помимо...

[grizzly]

DeBill

(Оффтоп)

Обратите, пожалуйста, внимание, что Вы вступили в полемику с ТС, который последний раз заходил на форум в начале 2010 г. И при обсуждении цитирования Вики в первом сообщении темы стоит смотреть на историю страницы в Вики от сентября 2009-го. Там действительно примерно такие утверждения (особо глубоко не вникал).

[DeBill]

grizzly

(Оффтоп)

Нда, был не внимателен и не прав...