2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 00:16 


13/04/09
48
Дано: $\[
\{ a_1 ,...a_n \}  \in \mathbb{R}
\]$, $\[
\exists \delta  > 0
\]$: $\[
\forall x \in ( - \delta ,\delta )
\]$ выполнено $\[
\left| {a_1 \sin x + ... + a_n \sin nx} \right| \leqslant \left| {\sin x} \right|
\]$.
Показать, что $\[
\left| {a_1  + 2a_2 ... + na_n } \right| \leqslant 1
\]$.
Подскажите, пожалуйста, идею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 00:41 


21/06/06
1721
Может вот эта идея подойдет $\frac{2}{\pi}|x|\leq{|\sin(x)|}\leq{|x|}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Sasha2
Левое неравенство работает только для $x \in [-\pi/2 ; \pi/2]$. А что это за дельта в условии - не понятно. Вот если все $a_i=0$, то дельта в принципе подходит любая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 00:51 


13/04/09
48
У меня только такое тривиальное получается: $\[
\left| {a_1 \sin x + .. + a_n \sin nx} \right| \leqslant \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {a_i x} \right|} i
\]$ :(

-- Пт янв 15, 2010 01:52:59 --

ShMaxG
В условии $ \[
a_i 
\]$ считаются заданными.

Re: привет физтеховцам!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
bull_mipt
Ну понятно, что заданы. А откуда мне знать их значения, вдруг заданы нулями. Немножко смахивает на задачу с параметрами. Но, думаю, наверняка есть решение общее для всех возможных $a_i$.

-- Пт янв 15, 2010 00:59:11 --

И вообще не для всякого набора $a_i$ такая дельта существует. Так что либо давайте какой-нибудь квантор перед $a_i$ или дополнительную информацию о них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 01:02 


13/04/09
48
Ну раз сошлись во мнении, что $\[
a_i 
\]$
- заданы, то, я так понимаю, $\[
\exists \{ a_1 ..a_n \} ...
\]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Или так: Пусть дан набор $a_i$, таких что для них существует дельта и т.д.? (Тогда квантор всеобщности здесь нужен)

А откуда задача, кстати?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 01:05 


13/04/09
48
Задача из сборника Дороговцева, 1.21. Указаний к решению нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Появилась идея доказывать по индукции. Попробуйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 01:13 


13/04/09
48
Индукция по чему? $\[
a_i 
\]$ - фиксированные числа и их количество фиксировано, а по $\[
x
\]$ как проводить индукцию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 01:21 


21/06/06
1721
Доказывать нужно, конечно по индукции и еще от противного.
А что касаемо дельты, то Вам там как раз этого и хватает, чтобы рассматривать это неравенство в некоторой окрестности нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
А что, фиксированность $n$ и возможность доказывать по индукции по $n$ как-то связаны? :)

Во, кажется придумал.

Достаточно посмотреть на случаи $n=2$ и $n=3$ (а дальше - по аналогии). Просто сокращайте на этот модуль синуса. Раз выполнено в окрестности нуля, значит выполнено в нуле. Так и получите требуемое равенство.

-- Пт янв 15, 2010 01:27:50 --

Хм, не раз в жизни встречал, что для того, чтобы доказать какое-то общее утверждение, достаточно рассмотреть его частные случаи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 01:27 


13/04/09
48
Всем спасибо, будем пробовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 01:28 


21/06/06
1721
Да можно и проще наверно.
Поделить на синус обе части неравенства.
И тогда задача фактически сведется к доказыванию тривального неравенства $|\sin(px)|\leq{|p\sin(x)|}$, где p - целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство.
Сообщение15.01.2010, 02:48 


13/01/10
69
А в чём проблема?
Очевидно, что если условие выполняется, то оно выполняется и в достаточно малой окрестности нуля, где $|\sin x |$ монотонно стремиться к нулю, и что худший случай, с точки зрения доказательства неравенства, возникает при $x\to 0$ (вообще-то это надо доказать).
Ну, а раз так исключаем $0$ из рассмотрения, берём предел от обеих частей, делим на $x$ и умножаем и делим на $i$, вычесляем первый замечательный предел и получаем то, что ищем. Конечно это только идея, но она здесь очевидна. Или я после праздников ещё не протрезвел и $Sinx$ это не $\sin x$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group