Доказать неравенство.

[bull_mipt]

Дано: $\[ \{ a_1 ,...a_n \} \in \mathbb{R} \]$, $\[ \exists \delta > 0 \]$: $\[ \forall x \in ( - \delta ,\delta ) \]$ выполнено $\[ \left| {a_1 \sin x + ... + a_n \sin nx} \right| \leqslant \left| {\sin x} \right| \]$.
Показать, что $\[ \left| {a_1 + 2a_2 ... + na_n } \right| \leqslant 1 \]$.
Подскажите, пожалуйста, идею.

[Sasha2]

Может вот эта идея подойдет $\frac{2}{\pi}|x|\leq{|\sin(x)|}\leq{|x|}$

[ShMaxG]

Sasha2
Левое неравенство работает только для $x \in [-\pi/2 ; \pi/2]$. А что это за дельта в условии - не понятно. Вот если все $a_i=0$, то дельта в принципе подходит любая.

[bull_mipt]

У меня только такое тривиальное получается: $\[ \left| {a_1 \sin x + .. + a_n \sin nx} \right| \leqslant \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {a_i x} \right|} i \]$ :(

-- Пт янв 15, 2010 01:52:59 --

ShMaxG
В условии $ \[ a_i \]$ считаются заданными.

Re: привет физтеховцам!

[ShMaxG]

bull_mipt
Ну понятно, что заданы. А откуда мне знать их значения, вдруг заданы нулями. Немножко смахивает на задачу с параметрами. Но, думаю, наверняка есть решение общее для всех возможных $a_i$.

-- Пт янв 15, 2010 00:59:11 --

И вообще не для всякого набора $a_i$ такая дельта существует. Так что либо давайте какой-нибудь квантор перед $a_i$ или дополнительную информацию о них.

[bull_mipt]

Ну раз сошлись во мнении, что $\[ a_i \]$
- заданы, то, я так понимаю, $\[ \exists \{ a_1 ..a_n \} ... \]$.

[ShMaxG]

Или так: Пусть дан набор $a_i$, таких что для них существует дельта и т.д.? (Тогда квантор всеобщности здесь нужен)

А откуда задача, кстати?

[bull_mipt]

Задача из сборника Дороговцева, 1.21. Указаний к решению нет.

[ShMaxG]

Появилась идея доказывать по индукции. Попробуйте.

[bull_mipt]

Индукция по чему? $\[ a_i \]$ - фиксированные числа и их количество фиксировано, а по $\[ x \]$ как проводить индукцию?

[Sasha2]

Доказывать нужно, конечно по индукции и еще от противного.
А что касаемо дельты, то Вам там как раз этого и хватает, чтобы рассматривать это неравенство в некоторой окрестности нуля.

[ShMaxG]

А что, фиксированность $n$ и возможность доказывать по индукции по $n$ как-то связаны?

Во, кажется придумал.

Достаточно посмотреть на случаи $n=2$ и $n=3$ (а дальше - по аналогии). Просто сокращайте на этот модуль синуса. Раз выполнено в окрестности нуля, значит выполнено в нуле. Так и получите требуемое равенство.

-- Пт янв 15, 2010 01:27:50 --

Хм, не раз в жизни встречал, что для того, чтобы доказать какое-то общее утверждение, достаточно рассмотреть его частные случаи.

[bull_mipt]

Всем спасибо, будем пробовать.

[Sasha2]

Да можно и проще наверно.
Поделить на синус обе части неравенства.
И тогда задача фактически сведется к доказыванию тривального неравенства $|\sin(px)|\leq{|p\sin(x)|}$, где p - целое.

[PaxVobiscum]

А в чём проблема?
Очевидно, что если условие выполняется, то оно выполняется и в достаточно малой окрестности нуля, где $|\sin x |$ монотонно стремиться к нулю, и что худший случай, с точки зрения доказательства неравенства, возникает при $x\to 0$ (вообще-то это надо доказать).
Ну, а раз так исключаем $0$ из рассмотрения, берём предел от обеих частей, делим на $x$ и умножаем и делим на $i$, вычесляем первый замечательный предел и получаем то, что ищем. Конечно это только идея, но она здесь очевидна. Или я после праздников ещё не протрезвел и $Sinx$ это не $\sin x$?