Chinese mathematicians put final pieces in global puzzle

[Котофеич]

Chinese mathematicians put final pieces in global puzzle
http://english.people.com.cn/200606/04/ ... 70860.html
Two Chinese mathematicians have put the final pieces together in the solution to a puzzle that has perplexed scientists around the globe for more than a century.

The pair have published a paper in the latest U.S.-based Asian Journal of Mathematics, providing complete proof of the Poincar Conjecture promulgated by Frenchman Henri Poincar in 1904.

Professor Cao Huaidong, of Lehigh University in Pennsylvania, and Professor Zhu Xiping, of Zhongshan (Sun Yat-sen) University in south China's Guangdong Province, co-authored the paper, "A Complete Proof of the Poincar and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow", published in the June issue of the journal.

Cao and Zhu put the finishing touches to the complete proof of the Poincar Conjecture, which had puzzled mathematicians around the world, said Professor Shing-Tung Yau, a mathematician at Harvard University and one of the journal's editors-in-chief.

[Руст]

А разве Перельман из Питера уже не доказал эту гипотезу.

[Котофеич]

Руст писал(а):

А разве Перельман из Питера уже не доказал эту гипотезу.

Нет не доказал. Ему очень далеко до своего папы
Профессор университета Чжуншань Чжу Сипин и работающий в США профессор университета Лехай Цао Хуайдун напечатали статью «Полное доказательство гипотезы Пуанкаре и геометрической гипотезы: применение теории Гамильтона-Перельмана о потоках Риччи». Китайский математик-эмигрант, живущий в США, обладатель Филдсовской премии, профессор Цюй Чэнтун считает указанный материал завершающей работой в доказательстве гипотезы Пуанкаре--«Гипотеза Пуанкаре представляет собой главный поток в области топологии и геометрии, на нее обращают внимание многие математики мира, они прилагают усилия по ее исследованию, доказательство и завершение работы имеют огромное значение», - отметил Цюй Чэнтун. Цюй Чэнтун заявил, что достижения двух китайских математиков являются передовыми в сфере фундаментальных исследований. Представленное доказательство поможет научным работникам глубже познать пространство, в котором мы живем, и окажет значительное влияние на развитие физики и техники."
Тут сразу хочется вспомнить известную басню Крылова, про петушка и кукушку

Гипотеза была сформулирована в 1904 году великим французским ученым Анри Пуанкаре и утверждает, что всякое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере (сообщает MIGnews.com.)

[OZH]

Котофеич писал(а):

Гипотеза ... утверждает, что всякое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере...

Можете пояснить:

1) Что такое трёхмерная сфера S^3? (Двумерная сфера S^2, я так понимаю, это обыкновенная сфера, вроде поверхности воздушного шарика. Только без дырки, разумеется!)

2) Разве в определение односвязного трёхмерного многообразия не входит гомеоморфность трёхмерной сфере S^3?

3) В чём же суть гипотезы?

[Руст]

OZH писал(а):

Котофеич писал(а):

Гипотеза ... утверждает, что всякое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере...

Можете пояснить:

1) Что такое трёхмерная сфера S^3? (Двумерная сфера S^2, я так понимаю, это обыкновенная сфера, вроде поверхности воздушного шарика. Только без дырки, разумеется!)

2) Разве в определение односвязного трёхмерного многообразия не входит гомеоморфность трёхмерной сфере S^3?

3) В чём же суть гипотезы?

1. Под трёхмерной сферой можно представить подмножество в четырёхмерном пространстве, заданное уравнением $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$.
2. Не входит.
3. Она позволяет классифицировать трёхмерные многообразия (без границ). Если гомотопические группы совпадают, они изоморфны.

[OZH]

1. Это я и сам понимаю. А представить трудно.
2. Как определяется размерность для многообразий?
3. Я так понял, что принципиальные трудности имеются именно для трёхмерных многообразий? (Для больших размерностей, вроде бы доказали, не так ли?)

[незваный гость]

OZH писал(а):

односвязного трёхмерного многообразия не входит гомеоморфность трёхмерной сфере S^3?

Любопытно, что во всех научно-популярных статьях не упоминается ориентрируемость. Между тем я считал, что она важна. Я не прав?

[незваный гость]

OZH писал(а):

3. Я так понял, что принципиальные трудности имеются именно для трёхмерных многообразий? (Для больших размерностей, вроде бы доказали, не так ли?)

По размерностям:
1 — тривиально
2 — классика (XIX век)
3 — Перельман (2003)
4 — Фридман (Freedman, 1982)
5 — Зиман (Zeeman, 1961)
6 — Столинг (Stalling, 1962)
7+ — Смейл (Smale, 1961; доказательство распространено на 5+)

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:

OZH писал(а):

односвязного трёхмерного многообразия не входит гомеоморфность трёхмерной сфере S^3?

Любопытно, что во всех научно-популярных статьях не упоминается ориентрируемость. Между тем я считал, что она важна. Я не прав?

Многообразие X размерности n называется односвязным, если все гомотопические группы $\pi_k(X)=0, \ \ 0<k<n$. Как я понимаю из односвязности следует ориентируемость.

[maxal]

Большая и подробная статья в The New Yorker, рассказывающая про доказательство Перельмана и про то, как на нем хотят нажиться некоторые нечистоплотные ученые.

А вот тут обещают понемногу выкладывать ее перевод для тех, кто не дружит с английским.

[Руст]

Я не тополог, подробности доказательства не читал. Насколько понял, Перельман доказал, что для потока Риччи (придуманного кажется Гамильтоном) на односвязном многообразии не может быть особенности одного типа, а для другого типа особенности он придумал перестройку, которая позволяет избежать это и продолжить поток Риччи, пока не установится гомеоморфизм со сферой. Китайцы просто сгладили его доказательство и сделали некоторые непонятные им места более ясными и расписали трактат на 300 страницах.

[maxal]

Руст писал(а):

Китайцы просто сгладили его доказательство и сделали некоторые непонятные им места более ясными и расписали трактат на 300 страницах.

Вот именно, что "непонятные ИМ". Небольшая цитата:

Цитата:

Mathematicians familiar with Perelman’s proof disputed the idea that Zhu and Cao had contributed significant new approaches to the Poincaré. “Perelman already did it and what he did was complete and correct,” John Morgan said. “I don’t see that they did anything different.”

[sceptic]

Руст писал(а):

Я не тополог, подробности доказательства не читал. Насколько понял, Перельман доказал, что для потока Риччи (придуманного кажется Гамильтоном) на односвязном многообразии не может быть особенности одного типа, а для другого типа особенности он придумал перестройку, которая позволяет избежать это и продолжить поток Риччи, пока не установится гомеоморфизм со сферой. Китайцы просто сгладили его доказательство и сделали некоторые непонятные им места более ясными и расписали трактат на 300 страницах.

Текст Тиана и Моргана с доказательством Перельмана(книжечка на 474 стр.) - там оно изложено лучше и подробнее, чем в
препринте самого Перельмана (по мнению знатоков).

Работа китайцев (опубликована в Asian Journal of Mathematics, vol. 10, Num. 2 (June 2006), p. 165-492).

[Котофеич]

Должно существовать более короткое доказательство, основанное на подходящей
полной системе топологических инвариантов виттеновского типа

[sceptic]

Котофеич писал(а):

:evil: Должно существовать более короткое доказательство, основанное на подходящей
полной системе топологических инвариантов виттеновского типа

А мне кажется - наступают времена, когда коротких доказательств существенных результатов не осталось . За последние три века математики все простое, легкое и короткое в ней (в технологическом смысле) выбрано.