Решить уравнение четвертой степени (не сложное).

[Beam]

Здравствуйте, мне необходимо решить вот такое уравнение:
$0,0002028061x^4+0,0032976607x^3-0,2489659571x^2-4,7157585657x+28,408673=0$
Я никогда не решал подобных уравнений, посоветуйте пожалуйста методику решения.
Это уравнение я получил из вот этой системы уравнений:
$0,0134051248x^2+0,0055948752y^2=19,1697502669$
$0,007236068x^2+0,002763932y^2=12,6649998317$
$0,0123xy+1,75y=75$

math_lover
Не подойдёт ли тот способ решения, что вы писали в предыдущем посте? Если да то как привести уравнение к нужному виду и что это за формулы для альфа, бетта и гамма?
ЗЫ: только не пугайтесь количеству знаков после запятой мне нужна такая точность.
Спасибо.

AKM:

Отделяю от темы post258394.html#p258394.

Методы, специфичные для рациональных коэффициентов, здесь не прокатят.
К тому же, назревает вопрос (пока не затронутый), как эту систему из 3-х уравнений с двумя неизвестными удалось свести к одному уравнению с одним неизвестным.

[venco]

Beam в сообщении #278579 писал(а):

Это уравнение я получил из вот этой системы уравнений:
$0,0134051248x^2+0,0055948752y^2=19,1697502669$
$0,007236068x^2+0,002763932y^2=12,6649998317$
$0,0123xy+1,75y=75$

Из первых двух уравнений множно найти точные значения $x^2$ и $y^2$. Дальше просто подставляем их в третье.

[Beam]

venco в сообщении #278581 писал(а):

Beam в сообщении #278579 писал(а):

Это уравнение я получил из вот этой системы уравнений:
$0,0134051248x^2+0,0055948752y^2=19,1697502669$
$0,007236068x^2+0,002763932y^2=12,6649998317$
$0,0123xy+1,75y=75$

Из первых двух уравнений множно найти точные значения $x^2$ и $y^2$. Дальше просто подставляем их в третье.

Спасибо, что откликнулись. Не могу сказать, что я силён в математике. Мне не совсем понятно, как найти $x^2$ и $y^2$ из первых двух уравнений? Выразить из первого $x$, а из второго $y$, а затем подставить в третье?

[venco]

В первых двух уравнениях сделайте замену $t=x^2, s=y^2$. Найдите $t$ и $s$. Дальше, надеюсь, понятно.

[meduza]

Beam
Простите, а зачем вам такая точность? На уравнение страшно смотреть. К тому же количество значимых цифр уж сильно варьирует.

Beam в сообщении #278587 писал(а):

Выразить из первого $x$, а из второго $y$, а затем подставить в третье?

Разумней умножить первое уравнение на $\frac {0{,}007236068}{0{,}0134051248}$ и вычесть из него второе, потом найти $y$ и т. д.

[AKM]

Beam в сообщении #278579 писал(а):

math_lover
Не подойдёт ли тот способ решения, что вы писали в предыдущем посте? Если да то как привести уравнение к нужному виду и что это за формулы для альфа, бетта и гамма?

Не подойдёт. А формулы здесь.

cepesh в сообщении #134003 писал(а):

Корни уравнения четвертой степени.
Уравнение четвертой степени

$$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, a \ne 0$$

с действительными коэффициентами заменой

$$ y=x+\frac{b}{4a}$$

сводится к неполному уравнению

$$ y^4 + py^2 + qy + r =0,$$

Случаи типа Вашего принято решать численными методами, а не явными формулами.

AKM в сообщении #278579 писал(а):

К тому же, назревает вопрос (пока не затронутый), как эту систему из 3-х уравнений с двумя неизвестными удалось свести к одному уравнению с одним неизвестным.

Полагаю, пока автор не осознает этой странности, или не уточнит, что он имел в виду, обсуждать вопрос о точности как-то... преждевременно, что ли...

-- Пт янв 08, 2010 20:36:15 --

Странно, а оказывается два заслуженных участника как-то на это совсем не отреагировали... Может, я чего-то не доглядел?

[Beam]

По поводу точности: данная система уравнений получена при анализе опытных данных специальной программой, дальнейшее использование обработанных данных без подобной точности может привести к большой погрешности. Во всяком случаи мне так сказали. Я простой студент и мне самому больно смотреть на это количество чисел после запятой, но раз надо, значит надо ...

Как эту систему уравнений получилось свести к уравнению с одним неизвестным? Не знаю правильно это или нет, но я сделал это так: из 3 уравнения я выразил у и подставил его в 1 уравнение и стал его преобразовывать в итоге получилось такое вот уравнение. Неправильно?

Теперь я стал решать, как сказал venco. Я сделал замену, выразил из первого уравнения s и подставил полученое выражение во второе, далее нашёл s и нашёл t. t получилось отрицательным. А вот дальше не совсем понятно. Подставлять t и s в третье уравнение? Для проверки что ли? Я так понял что $x=\sqrt{t}$ и $y=\sqrt{s}$. Тогда получается что у это вещественный корень, а х? ведь корень из отрицательного числа нельзя посчитать. Что-то с комплексными числами?

[meduza]

Beam в сообщении #278618 писал(а):

дальнейшее использование обработанных данных без подобной точности может привести к большой погрешности.

На сколько я понял все числа в уравнениях приближённые, а если так, то количество значимых цифр должно быть одинаковым везде. От лишних цифр толку нет абсолютно никакого. А по-умному нужно не заниматься ерундой, а оставить 2-3 значимые цифры и посчитать погрешность.

Beam в сообщении #278618 писал(а):

Подставлять t и s в третье уравнение? Для проверки что ли?

Количество уравнений должно равняться количеству неизвестных. У вас не так. (Поэтому, вообще говоря, ваша система из 3-х уравнений не имеет решений.)

Beam в сообщении #278618 писал(а):

Простите, я пока ещё не разобрался как правильно корень ставить здесь.

Наведите мышь на $\sqrt{123}$.

[venco]

Beam в сообщении #278618 писал(а):

Теперь я стал решать, как сказал venco. Я сделал замену, выразил из первого уравнения s и подставил полученое выражение во второе, далее нашёл s и нашёл t. t получилось отрицательным. А вот дальше не совсем понятно.

Значит, ваша система не имеет решений в действительных числах.

[gris]

Кстати, если умножить второе уравнение на 2, то на глазок видно, что это два центральных эллипса с очень близкими эксцентриситетами, но у второго оси уж слишком больше первого будут, чтобы эллипсы пересекались.

[Beam]

Цитата:

На сколько я понял все числа в уравнениях приближённые, а если так, то количество значимых цифр должно быть одинаковым везде. От лишних цифр толку нет абсолютно никакого. А по-умному нужно не заниматься ерундой, а оставить 2-3 значимые цифры и посчитать погрешность.

Дело было так. Мне дали систему уравнений полученую через statisticy 6.0. Сказали привести первые два уравнения к виду уравнения элипса. Это я сделал и теперь вот надо решить систему и да вы правы количество цифр должно быть одинаково везде, но я в маткаде производил расчет, поставил 10 цифр после запятой, а он в некоторых случаях округляет последнюю цифру. Я поздно это заметил. Но думаю это не сильно же отразится на результате, с такой то точностью? Мне честно говоря сказали брать точность чуть поменьше, а я решил перестраховаться и взял десять знаков после запятой.

Цитата:

Количество уравнений должно равняться количеству неизвестных. У вас не так. (Поэтому, вообще говоря, ваша система из 3-х уравнений не имеет решений.)

И теперь вот к моему стыду я понял, что должен решить первые 2 уравнения. Вобщем то я нашёл s и t, как я уже говорил. Тогда получается, что я беру корни из s и t и это и есть мои х и у, но как же быть с тем, что t - отрицательное число?

Цитата:

Наведите мышь на .

Спасибо

[venco]

Beam в сообщении #278632 писал(а):

Мне дали систему уравнений полученую через statisticy 6.0.

Это-ж какую выборку надо иметь, чтобы статистические параметры имели точность 10 знаков!

[Beam]

venco в сообщении #278636 писал(а):

Beam в сообщении #278632 писал(а):

Мне дали систему уравнений полученую через statisticy 6.0.

Это-ж какую выборку надо иметь, чтобы статистические параметры имели точность 10 знаков!

Нет в первоначальном виде числа в данной мне системе имели 3 знака после запятой, но когда я начал их перемножать делить и т.д. и т.п. я использовал точность которую поставил в маткаде, а именно как я уже говорил 10 знаков. Это неправильно?
Вот оригинал:
$y_1=101,3-2,055x_1-1,415x_2+0,006x_1*x_2+0,012x^2_1+0,007x^2_2$
Ну это первое уравнение, второе приводить не буду оно похожее. Пожалуйста скажите как мне поступить: оставить всё как есть или пересчитывать с другой точностью, поменьше?

И да пожалуйста скажите, что делать с мнимым корнем, как его записать?

[meduza]

Beam в сообщении #278638 писал(а):

Нет в первоначальном виде числа в данной мне системе имели 3 знака после запятой, но когда я начал их перемножать делить и т.д. и т.п. я использовал точность которую поставил в маткаде, а именно как я уже говорил 10 знаков.

Вы не понимаете сути. Если у исходных чисел после запятой только 3 цифры значимы, то и у всех чисел из них полученных точность будет не выше! Т. е. округляйте до тысячных, остальные цифры, вообще говоря, не несут никакой информации.

[Beam]

meduza в сообщении #278639 писал(а):

Beam в сообщении #278638 писал(а):

Нет в первоначальном виде числа в данной мне системе имели 3 знака после запятой, но когда я начал их перемножать делить и т.д. и т.п. я использовал точность которую поставил в маткаде, а именно как я уже говорил 10 знаков.

Вы не понимаете сути. Если у исходных чисел после запятой только 3 цифры значимы, то и у всех чисел из них полученных точность будет не выше!

Это очень печально. Значит прийдётся пересчитывать.

А по поводу мнимого корня что делать? Так и писать $x=\sqrt{-36063,786}$? Именно так у меня и получается.
Или же $x=36063,786i$?