2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 [draft] Справочник. Алгебра
Сообщение19.07.2008, 22:23 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4103
London
Формулы сокращенного умножения
Общие формулы:
$$x^n-c^n=(x-c)\left( x^{n-1} + x^{n-2}c + x^{n-3}c^2 + \dots + xc^{n-2} + c^{n-1}\right)=(x-c)\sum^{n-1}_{k=0} {x^{n-k-1}c^k} \quad \mbox{($n$ --- любое)}; $$
$$x^n-c^n=(x+c)\left( x^{n-1} - x^{n-2}c + x^{n-3}c^2 - \dots + xc^{n-2} - c^{n-1}\right)=(x+c)\sum^{n-1}_{k=0} {(-1)^k x^{n-k-1}c^k} \quad \mbox{($n$ --- четное)}; $$
$$x^n+c^n=(x+c)\left( x^{n-1} - x^{n-2}c + x^{n-3}c^2 - \dots - xc^{n-2} + c^{n-1}\right)=(x+c)\sum^{n-1}_{k=0} {(-1)^k x^{n-k-1}c^k} \quad \mbox{($n$ --- нечетное)}.$$

Простейшие формулы:
$$(x+c)(x-c) = x^2 - c^2;$$
$$ (x+c)(x^2 -xc + c^2) = x^3 + c^3;$$
$$(x-c)(x^2+xc+c^2)=x^3-c^3.$$

Добавлено спустя 14 минут 23 секунды:

Формулы Виета.
Формулы Виета для приведенного многочлена $n$-й степени $P(x)=x^n+a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n$ с корнями $c_1, c_2, \dots, c_n$:
$$\begin{array}{llr}
c_1+c_2+c_3+\dots+c_{n-1}+c_n & = &-a_1, \\
c_1 c_2 + c_1 c_3 + \dots + c_{n-1} c_n & = &a_2, \\
c_1 c_2 c_3 + c_1 c_2 c_4 + \dots + c_{n-2} c_{n-1} c_n &=& -a_3, \\
\hdotsfor{3} \\
c_1 c_2 c_3 \dots c_{n-1} c_n &=& (-1)^n a_n.
\end{array}$$

Формулы Виета для приведенного квадратного трехчлена $P(x)=x^2+px+q$:
$$ c_1+c_2=-p; \quad c_1 c_2 = q.$$

Формулы Виета для приведенного кубичного многочлена $P(x)=x^3+px^2+qx+r$:
$$\begin{array}{llr} 
c_1 + c_2 + c_3 &=& -p,\\
c_1 c_2 + c_2 c_3 + c_1 c_3 &=& q,\\
c_1 c_2 c_3 &=& -r. 
\end{array}$$

Добавлено спустя 8 минут 40 секунд:

Корни квадратного уравнения
Формула вычисления корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0, a \ne 0$ с действительными коэффициентами:
$$x_{1, 2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Если $D \equiv b^2-4ac>0$, то уравнение имеет два различных действительных корня; если $D=0$, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2; если $D<0$, то
уравнение имеет два комплексно сопряженных корня:
$$x_1=-\frac{b}{2a}+i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}; \quad x_2=-\frac{b}{2a}-i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.$$

Формула вычисления корней приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:
$$ x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}.$$

Формула вычисления корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом $ax^2 + 2kx + c = 0, a \ne 0$:
$$ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}{a}.$$

Добавлено спустя 25 минут 7 секунд:

Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.

Корни неполного кубичного уравнения
$$y^3+py+q=0$$
вычисляются по формулам Кардано:
$$ y_1=A+B, \quad y_{2,3}=-\frac{A+B}{2}\pm i\frac{A-B}{2}\sqrt{3},$$
где $$ A=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}}, \quad B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}, \quad Q=\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2,$$
причем в качестве $A$ и $B$ выбираются любые значения кубичных корней, удовлетворяющие равенству $AB=-p/3$.

Корни неполного кубичного уравнения с действительными коэффициентами
$$y^3+py+q=0$$
могут быть вычислены также по следующим формулам
(тригонометрическое решение).
Если $Q < 0$, то $p < 0$, и
$$ y_1 = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \frac{\alpha}{3}, \quad y_{2,3} = -2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \left(\frac{\alpha}{3} \pm \frac{\pi}{3} \right),$$
где значения тригонометрических функций вычисляются по значению $$\cos \alpha = -\frac{q}{2\sqrt{-(p/3)^3}}.$$
Если $Q \ge 0$ и $p>0$, то
$$y_1=-2\sqrt{p/3} \ctg 2\alpha, \quad y_{2,3}=\sqrt{p/3}(\ctg 2\alpha \pm i\sqrt{3} \cosec 2\alpha),$$
где значения тригонометрических функций вычисляются по значению
$$ \tg \alpha = \sqrt[3]{\tg \frac {\beta}{2}}, \quad \tg \beta = \frac{2}{q}\sqrt{\left(\frac{p}{3}\right)^3}, \quad |\alpha| \le \frac{\pi}{4}, \quad |\beta| \le \frac{\pi}{2}.$$

Если $Q \ge 0$ и $p < 0$, то
$$ y_1 = -2\sqrt{-p/3} \cosec 2\alpha, \quad y_{2,3}=\sqrt{-p/3}(\cosec 2\alpha \pm i\sqrt{3}\ctg 2\alpha),$$
где значения тригонометрических функций вычисляются по значению
$$ \tg \alpha = \sqrt[3]{\tg \frac {\beta}{2}}, \quad \sin \beta =  \frac{2}{q}\sqrt{\left(-\frac{p}{3}\right)^3}, \quad |\alpha| \le \frac{\pi}{4}, \quad |\beta| \le \frac{\pi}{2}.$$
Во всех трех случаях берется действительное значение кубичного корня.

Корни полного кубичного уравнения
$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, a \ne 0$$
вычисляются по формулам
$$ x_i=y_i-\frac{b}{3a}\qquad (i=1,2,3),$$
где $y_i$ — корни неполного кубичного уравнения.

Добавлено спустя 52 минуты 25 секунд:

Корни уравнения четвертой степени.
Уравнение четвертой степени
$$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, a \ne 0$$
с действительными коэффициентами заменой
$$ y=x+\frac{b}{4a}$$
сводится к неполному уравнению
$$ y^4 + py^2 + qy + r =0,$$
корни которого вычисляются по формулам:
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
y_1=\frac12(\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2}+\sqrt{z_3}),& y_2=\frac12(\sqrt{z_1}-\sqrt{z_2}-\sqrt{z_3}),\\
y_3=\frac12(-\sqrt{z_1}+\sqrt{z_2}-\sqrt{z_3}),& y_4=\frac12(-\sqrt{z_1}-\sqrt{z_2}+\sqrt{z_3}),
\end{array}
\end{equation}
где $z_1, z_2, z_3$ — корни кубичного уравнения (кубичной резольвенты)
$$z^3 + 2pz^2 + (p^2-4r)z-q^2=0, $$
и знаки перед корнями в формулах $(1)$ выбираются так, чтобы выполнялось условие $\sqrt{z_1}\sqrt{z_2}\sqrt{z_3}=-q.$

Добавлено спустя 26 минут 36 секунд:

Неравенства
Простейшие неравенства:
$$|a+b| \le |a|+|b|; \quad |a-b|\ge||a|-|b||;\quad a^2+b^2\ge 2 |ab|;$$
$$\frac{a}{b} + \frac {b}{a} \ge 2 \quad (ab>0);$$
$$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad (a\ge 0, b \ge 0).$$

Некоторые общие неравенства:
$$\left| \sum_{i=1}^n a_i \right| \le \sum_{i=1}^n |a_i|;$$
$$\frac1n \sum_{i=1}^n a_i \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}, a_i \ge 0$$ (неравенство Коши);
$$\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$$ (неравенство Коши -- Буняковского);
$$\frac1n \left| \sum_{i=1}^n a_i \right| \le \sqrt{\frac1n \sum_{i=1}^n a_i^2};$$
$$\left| \sum_{i=1}^n a_i b_i \right| \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^n b_i^q \right)^{1/q}$$ (неравенство Гёльдера), где $$\frac1p+\frac1q=1.$$

Добавлено спустя 21 минуту 18 секунд:

Комбинаторика и бином Ньютона.
Число перестановок из $n$ элементов:
$$ P_n = n!.$$
Число размещений из $n$ элементов по $m$ элементов;
$$ A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}.$$
Число сочетаний из $n$ элементов по $m$ элементов:
$$ C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}.$$
Формулы для числа сочетаний:
$$C_n^m = C_n^{n-m};$$
$$ C_{n+1}^{m+1}=C_n^m + C_n^{m+1};$$
$$ C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^{n-1} + C_n^n = 2^n.$$

Число перестановок с повторениями (кортежами) состава (спецификации) $(k_1, k_2, \dots, k_m)$:
$$ C_n (k_1, k_2, \dots, k_m) = \frac{n!}{k_1! k_2! \dots k_m!} \quad (n=k_1+k_2+\dots k_m). \eqno{(2)}$$
Число сочетаний из $n$ элементов по $m$ с повторениями:
$$ f^m_n=C^{n-1}_{m+n-1}=C^{m}_{m+n-1}.$$
Рекуррентная формула для числа сочетаний с повторениями:
$$ f^m_n = f^m_{n-1} + f^{m-1}_n$$
Формула бинома Ньютона:
$$ (a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b + \dots + C_n^n a^0 b^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k.$$
Формула полинома:
$$ (a_1+a_2+\dots+a_r)^n = \sum_{k_1+k_2+\dots+k_r=n} C_n (k_1, k_2, \dots, k_r) a_1^{k_1} a_2^{k_2}\dots a_r^{k_r},$$
где суммирование проводится по всем наборам неотрицательных целых чисел $(k_1, k_2, \dots, k_r)$, для которых $k_1+k_2+\dots+k_r=n$. Коэффициенты $C_n (k_1, k_2, \dots, k_r)$, вычисляемые по формуле $(2)$, называются полиномиальными коэффициентами.
Формула для числа полиномиальных коэффициентов:
$$\sum_{k_1+k_2+\dots+k_r=n} C_n (k_1, k_2, \dots, k_r)=r^n $$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group