Можно ли разбить параллелепипед на нетривиальные маленькие?

[Сергей Маркелов]

Можно ли разбить куб со стороной 56 на прямоугольные параллелепипеды со сторонами $1+\cos\frac{\pi}{7}$, $1+\cos\frac{3\pi}{7}$ и $1+\cos\frac{5\pi}{7}$ ?

Спасибо.
Сергей Маркелов

[mihiv]

$a=1+\cos \frac {\pi }7,b=1+\cos \frac {3\pi }7,c=1+\cos \frac {5\pi }7$.Объем паралл-да $V_0=abc=\frac 34+\frac 14(\cos \frac {\pi }7+\cos \frac {3\pi }7+\cos \frac {5\pi }7)$.
Пусть $x=e^{\frac {i\pi }7}$,тогда $x^7+1=(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)=0$.Приравнивая 0 действительную часть выражения во второй скобке,получим:$\cos \frac {\pi }7+\cos \frac{3\pi }7+\cos \frac {5\pi }7=\frac 12$,отсюда $V_0=\frac 78$.
Число "кирпичей" требуемое для построения куба со стороной 56 равно:$(56)^3:\frac 78=7^22^{12}$.
Не знаю,можно ли это считать решением,т.к. в условии, видимо, все же имеется в виду,что куб нужно сложить из этих параллелепипедов.

[ha]

Стороны параллелипипедов должны быть рациональны. Это следует из того, что они находятся из системы линейных уравнений построенной по разбиению куба. Если пространство значений a,b,c не нульмерно, то тогда возникает противоречие с тем, что объем параллелипепида известен, а при линейном изменении сторон он неизбежно изменяется. А если нульмерно, то в виду целости коэффициентов системы, a, b и c рациональны.

[worm2]

Можно, кстати, доказать, что параллелепипед, целиком составленный из параллелепипедов, у каждого из которых есть ребро, кратное $\alpha$, сам обязан иметь ребро, кратное $\alpha$. Для доказательства используется офигенно красивая идея, описанная в этой теме.

[mihiv]

В этой конкретной задаче можно еще так решать:предположим мы сложили куб,тогда все параллелепипеды разбиваются на три группы, в зависимости от того как ориентированы их грани наименьшей площади,можно показать,что число парал-дов каждой ориентации должно быть одинаково,следовательно,их общее число кратно 3,что противоречит вычисленному значению:$7^22^{12}$.

[venco]

mihiv в сообщении #279747 писал(а):

можно показать,что число парал-дов каждой ориентации должно быть одинаково

Покажите, плз! Мне это не очевидно.

[mihiv]

Проведем секущую плоскость,параллельную одной из граней куба.В сечении получим квадрат,покрытый прямоугольниками трех типов:обозначим их условно ab,ac и bc,$(S_{ab}>S_{ac}>S_{bc})$.Вычислим $S_0=S_{ab}+S_{ac}+S_{bc}$.После преобразований получим $S_0=\frac 72.$Заметим теперь,что число прямоугольников каждого типа в сечении должно быть одинаково,иначе сумма их площадей была бы иррациональной.Следовательно,число прямоугольников каждого типа в любом сечении куба,параллельном его грани одинаково и равно $\dfrac {56^2}{S_0}$.
Будем теперь проводить секущие плоскости параллельно,например,нижней грани куба,каждую следующую плоскость проводим на расстоянии a от предыдущей,первую плоскость проведем на расстоянии a от нижней грани.
Каждый из паралл-дов меньшая грань которых параллельна нижней грани куба будет пересечен одной и только одной из этих плоскостей.Следовательно общее число паралл-дов данной ориентации найдем пересчитав число малых прямоугольников во всех этих сечениях.
То же самое число малых прямоугольников мы насчитаем в аналогичных сечениях,параллельных правой и,соответственно,передней граням куба.Следовательно,число паралл-дов каждой из трех ориентаций должно быть одинаково.