Проверить ряды на сходимость

[Princ]

Задали самостоятельную работу и я заболел пневмонией. Месяц пролежал в больнице, не ходил в институт и немного отстал от сокурсников. А без этих примеров меня не допустят на экзамен. Что то я решил, что то не могу. Проверьте и помогите пожалуйста.

4.14.
а).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{8^n}{n!} $


б).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}+7} $


в).
$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{n}{7n+2} \right)^{2n}$


г).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{\sqrt{n+2}}} $


5.14.
А вот эти 2 примера вообще не представляю как решать. Позвонил другу он говорит, что то про Даламбера и Коши. Но к этим темам я ведать уже лежал в больнице. Подскажите ресурс где можно ознакомиться с примерами решений подобных примеров или помогите с решением.
а).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{3^n{n!}} $

б).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+2}}}$

[JollyRoger]

Princ в сообщении #278192 писал(а):

4.14.
а).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{8^n}{n!} $

Тут вроде бы правильно подумали применить признак д’Аламбера, но странно составили $ a_{n} $ и $ a_{n+1} $.

Princ в сообщении #278192 писал(а):

б).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}+7} $

А тут просто $ \frac{1}{n^{2}+7} < \frac{1}{n^2} $, а уж $ \frac{1}{n^2} $ сх-ся, т.к. $ \alpha = 2 > 1 $ (обобщённый гармонический ряд). Следовательно, сх-ся и исходный ряд.

Princ в сообщении #278192 писал(а):

в).
$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{n}{7n+2} \right)^{2n}$

Тут что-то Вы перемудрили. Признак Коши применили правильно, а дальше что-то непонятное. Там же получается $ \lim\limits_{n \to \infty} \left ( \frac{n}{7n + 2} \right )^2 $ Возведите в квадрат и получите простейший предел.

Princ в сообщении #278192 писал(а):

г).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{\sqrt{n+2}}} $

Воспользуйтесь предельным признаком сравнения ($ a_n = \frac{4}{\sqrt{n+2}} $, $ b_n = \frac{1}{\sqrt n} $).

Princ в сообщении #278192 писал(а):

а).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{3^n{n!}} $

б).
$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+2}}}$

Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

[Princ]

1). Первое решил правильно вроде. Там щас заметил восьмерки не отсканировались, ну да ладно.
2). Спасибо, вроде понял, то есть пример вроде как решается логически и по большому счёту решение здесь не требуется?
3). По моему тупейший вопрос. После возведение в квадрат мы получим:
$\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \frac{n}{7n + 2} \right )^2$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{49n^{2}+28n+4}}}$ ?
Если да то что то предел мне не кажится простейшим
4). Можно ссылку на предельный признак сравнения, для ознакомления?
5). Значит как я понял:

6. В том же стиле. Ряд расходится, в тексте опечатка:

[JollyRoger]

Princ в сообщении #278315 писал(а):

2). Спасибо, вроде понял, то есть пример вроде как решается логически и по большому счёту решение здесь не требуется?

Вас могут попросить, например, доказать сходимость $ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} $ при $ \alpha > 1 $.

Princ в сообщении #278315 писал(а):

Если да то что то предел мне не кажится простейшим

Делите числитель и знаменатель на $ n^2 $.

Princ в сообщении #278315 писал(а):

4). Можно ссылку на предельный признак сравнения, для ознакомления?

Ссылка

Princ в сообщении #278315 писал(а):

5). Значит как я понял:

А что Вы показываете во втором пункте (в обоих примерах)? Вам нужно показать, что общий член ряда монотонно убывает.

[Princ]

3). $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2n}=\lim_{n\to\infty} \sqrt[2]{\left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2n}}=\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{49n^2+28n+4}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{49+\frac{28}{n}+\frac{4}{n^2}}$
Что делать дальше?
4). Ладно это пример попытаюсь на словах объяснить учителю.
5). Ну я вроде так и сделал. что общий член ряда монотонно убывает?
6). Не сходится? Я правильно решил?

[AKM]

Princ,

Вы умеете набирать формулы по Правилам.
Извольте сделать это хотя бы в последнем сообщении.
Остальные картинки будут удалены.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

В теме Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться также описано, как выбираться из карантина.

[AKM]

Возвращено.

[vanja]

Princ в сообщении #278538 писал(а):

3). $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2n}=\lim_{n\to\infty} \sqrt[2]{\left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2n}}=\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{49n^2+28n+4}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{49+\frac{28}{n}+\frac{4}{n^2}}$
Что делать дальше?

ну и чему тогда равен предел?

[Princ]

Мне говорят 28\n и 4\n^2 удаляются.
1>1\49 значит ряд сходится. правелно?

[vanja]

ну они не удаляются, а стремятся к нулю, а ответ верный

[AKM]

vanja,

Вы посмотрели всю эту цепочку равенств, и утверждаете, что ответ верный?

Princ в сообщении #278538 писал(а):

3). $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2n}=\lim_{n\to\infty} \sqrt[2]{\left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2n}}=\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2}=\ldots$

(Я не вник в задачку, увидел только это).

[vanja]

применив признак Коши, получаем предел, который <1 и что из этого следует то?(может быть я конечно уже точно не помню, но что-то подсказывает, что ряд сходящийся)

-- Пт янв 08, 2010 20:01:33 --

если вы имеете в виду опечатку в равенстве, то до этого то был применян правильно признак

[AKM]

Скажу честно --- в каракульках не разобрался, какая задачка решается --- не осознал, признаки сходимости не вспоминал (и до конца смены на работе не буду пытаться осознать), увидел только в последнем отредактированном сообщении автора вопиющие равенства. За которыми последовало Ваше, vanja, подтверждение, что всё ОК. Если это какие-то опечатки, и Вы где-то в картинках видите правильное решение, то... пусть так...

[vanja]

ну вот хотелось бы тогда все-таки услышать от вас, что и где неправильно, дабы хоть поправить свое незнание

[JollyRoger]

Princ в сообщении #278538 писал(а):

$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2n}=\lim_{n\to\infty} \sqrt[2]{\left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2n}}=\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{49n^2+28n+4}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{49+\frac{28}{n}+\frac{4}{n^2}}$

Знак равенства после первого выражения ставить не надо. И не $ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[2]{\left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2n}} $, а $ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{7n+2}\right)^{2n}} $

Princ в сообщении #278538 писал(а):

5). Ну я вроде так и сделал. что общий член ряда монотонно убывает?

Что Вы сделали? Вы написали непонятное неравенство $ \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{3^n n!} $ (которое, кстати, ни при каких натуральных $ n $ не выполняется). Как из него следует монотонность $ \frac{1}{3^n n!} $?

Princ в сообщении #278538 писал(а):

6). Не сходится? Я правильно решил?

Нет