Задачка на поиск дельта-нейтральной стратегии

[jeyana]

Подскажите, пожалуйста, каким образом программируется поиск дельта-нейтральной стратегии. Задачу я для себя сформулировала так:

a -- вектор дельт
x -- вектор цен опционов
m -- вектор количеств опционов (целочисленный)
(a, m) -> 0
(x, m) -> min
Найти m.

Как я понимаю, у нас фактически получается оптимизация по суммарной стоимости стратегии с условием на дельту. Как сделать, чтобы находилось ненулевое решение?

[Shtirlic]

А можно теорию о том что это такое, что есть дельта, что нам вообще дано и чего мы хотим добиться?

-- Вт янв 05, 2010 23:18:19 --

А вообще, если я понял правильно что речь идет о скалярном произведении, то мы должны найти такой вектор m который перпендикулярен a, тогда угол между m и x может принить два значения, один с положительным косинусом другой с отрицательным (если a и x не параллельны), так как сколярное произведение еще зависит и от длины векторов, то его можно либо устремить к 0 если устремить длину вектора к 0 или к минус бесконечности, если выбрать угол с отрицательным косинусом и устремить длину вектора к бесконечности. Вывод: задача сформилированна неправильно. Жду теорию!

[jeyana]

Дельта -- один из "греков" в модели Блэка-Шоулза http://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes, производная стоимости опциона по стоимости актива, на который опцион создан. Колл-опционы (на покупку) обладают положительной дельтой, пут-опционы (на продажу) -- отрицательной.
Дельта-нейтральная стратегия -- один из базовых методов хеджирования, заключается в формировании портфеля с дельтой максимально близкой к нулю (дельта портфеля -- это средневзвешенное дельт его составляющих). Результатом такой стратегии является то, что мы получаем портфель, сохраняющий свою стоимость независимо от направления движения рынка.

Так вот, вопрос мой состоит в следующем:
Хочу из некоторого набора колл и пут опционов выделить такой, чтобы:
1. получился дельта-нейтральный портфель (возможно, с некоторым заданным отклонением)
2. за минимальную сумму денег
3. и учесть то, что опционы штука неделимая и продаются "целыми частями"

Решаема ли такая задачка? Или обязательно вводить то, что некоторый набор опционов у нас есть изначально, и уже его мы дополняем до дельта-нейтрального за минимальную стоимость?

[Shtirlic]

Насколько я понимаю, хеджирование - это метод страхования рисков, то есть (объясню на валюте, я больше с ней работал), мы заключили контракт на покупку товара за границей, скажем в долларах, на какую то дату, но мы не знаем что будет с курсом, а рассчитываем на текущий, тогда мы открываем позицию на валютном рынке, чтобы компенсировать изменение курса. Как я понимаю это и есть ситуация уровновешивания начального портфеля. Судя по формулам, речь идет о вероятностных событиях и цена опциона похоже верхняя или нижняя граница прибыли от него (скорее нижняя, в формулах еще не разбирался). Так вот, я пока не вижу смысла составлять такой равновестный портфель если мы не имеем начальный для каких то целей. Возможность получения вот так из воздуха прибыли всегда блокировались. Ну а вообще, если я все правильно понял, представленная вами задача имеет решение ненулевые решения, если вы наложете условие, что m - не нулевой вектор. Только не ясно зачем это. Вас волнует способ решения или главное получить ответ?

[jeyana]

Дельта-нейтральный портфель смысл составлять есть. Дело в том, что цена опционов зависит не только от цены актива, но и от его волатильности, а также времени до истечения.
Привожу пример (для удобства проверки и проведения вычислений вот :ссылка на один из калькуляторов):

Пусть изначально цена актива составляет 40$
Пусть у нас имеются пут и колл опционы, все со страйком 40$.
Пусть наша безрисковая ставка = 5%
Время до истечения опционов = 3 месяца
Пусть волатильность как пут, так и колл опционов составляет 10%.

По Блэку-Шоулзу цена колл опциона с такими параметрами составляет 1,06$. Его дельта составляет 0,6.

Добьемся дельта-нейтральности, скомпенсировав дельту колла отрицательной дельтой пута.

Цена пута составит 0,57$, а дельта его будет -0.4.

Очевидно, что мы должны купить 4 колла и 6 путов. Стоимость занятия такой позиции будет равна 7,66$.

Теперь предположим цена акции двинулась вверх. Наши колл опционы стали стоить больше, а путы меньше. Но насколько? Пусть цена стала 45$ через 18 дней. (18 чтобы стало не 0.25, а 0.2 года)

Тогда колл стоит 5.4, а пут стоит 0,1 цента. Стоимость нашей позиции стала 21,6, итого чистыми 13.94

Понятно, что в реальности большая часть этой прибыли будет съедена комиссиями, а также что такого сильного скачка в цене может и не произойти и что вообще арбитраж штука исключительно редкая. Но, вообще говоря, такая стратегия является теоретической базой для многих других.

Так вот, возвращаясь к моему вопросу, меня волнует способ решения, поможете?

[H14sk]

Возможно, Вам поможет официальная программка "Опционный аналитик FORTS" ("Forts Option Analyzer" http://www.rts.ru/s526 )

Примеры дельта-нейтральных позиций можно посмотреть в штатном "Методическом пособии" ФОРТС: А.Н. Балабушкин "Опционы и фьючерсы" (http://www.rts.ru/s207 http://fs.rts.ru/files/1380 )

P.S. Приложу еще ссылку на Халла (Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты, 6-е издание)

[Shtirlic]

К сожаления, я с этой темой не знаком, времени пока разбираться нет. Можете подробней объяснить где вы хотите получить прибыль или для чего это нужно. Как я вижу, эта задача сводиться к линейноцелочисленному программированию, но я пока точно не пойму условия модели. Как я понимаю, хеджирования применяется для страхования рисков какой либо сделки и пока не вижу смысл проводить его без сделки.

[Alexey1]

А разве это не задача на целочисленное линейное программирование
$\min \sum_{i=1}^n x_i m_i$
при условии
$\sum_{i=1}^n a_i m_i = 0$
$m \in Z$

[Shtirlic]

В такой постановке задачи получится нулевой вектор $m$. Я так и не понял что к чему, но для того чтобы найти ненулевой вектор $m$, принимая во внимание что его элементы целые нужно еще добавить условие:
$\sum_{i=1}^n m_i\ge 1$.

[jeyana]

Shtirlic в сообщении #279854 писал(а):

К сожаления, я с этой темой не знаком, времени пока разбираться нет. Можете подробней объяснить где вы хотите получить прибыль или для чего это нужно. Как я вижу, эта задача сводиться к линейноцелочисленному программированию, но я пока точно не пойму условия модели. Как я понимаю, хеджирования применяется для страхования рисков какой либо сделки и пока не вижу смысл проводить его без сделки.

Прибыль получается при сильном движении рынка в каком-либо из направлений, т.е. фактически при повышении волатильности, и получается за счет того, что цена опциона зависит не только от цены актива, но и от других факторов (писалось выше). Хеджирование применяется для страхования некоторого риска или группы рисков. То, что вы подразумеваете под сделкой -- т.е. операция купли/продажи с реальным активом -- происходить должно не обязательно, хоть в большинстве случаев операция хеджирования с этим сопряжена.

Alexey1 в сообщении #280267 писал(а):

А разве это не задача на целочисленное линейное программирование
$\min \sum_{i=1}^n x_i m_i$
при условии
$\sum_{i=1}^n a_i m_i = 0$
$m \in Z$

Именно она, и с условием на ненулевой вектор, как сказал Shtirlic. Но вот как ее решать? По какому алгоритму?

[bubu gaga]

Бюджетное ограничение не забудьте

[Shtirlic]

А разже при сильном движении рынка мы не теряем по определенным позицием тоже что зарабатываем по другим??? А решается эта модель (с моим неравенством) симплекс методом, с приминением метода Гомори. Это довольно трудоемко. Если вам не обязательно равенство дельты нулю, советую это ограничение заменить два - больше минус допустимого допустимого и меньше плюс допустимого откланения. А вообще эту модель можно забить в поиск решия Excel, он хорошо справиться.

-- Пт янв 15, 2010 00:28:12 --

bubu gaga
А зачем бюджетное ограничение, если мы минимизуруем затраты???

[jeyana]

Shtirlic в сообщении #280446 писал(а):

А разже при сильном движении рынка мы не теряем по определенным позицием тоже что зарабатываем по другим???

Это так с линейными активами (валютами, акциями, фьючерсами, форвардами), но не так с опционами. В этом-то и заключается их "фишка"

Shtirlic в сообщении #280446 писал(а):

А решается эта модель (с моим неравенством) симплекс методом, с приминением метода Гомори. Это довольно трудоемко. Если вам не обязательно равенство дельты нулю, советую это ограничение заменить два - больше минус допустимого допустимого и меньше плюс допустимого откланения. А вообще эту модель можно забить в поиск решия Excel, он хорошо справиться.

Да, точное равенство не обязательно, да и не всегда достижимо, если вводить ограничение на имеющуюся сумму денег.
А Excel справился уже, вот я и хочу узнать как =)

Shtirlic в сообщении #280446 писал(а):

bubu gaga
А зачем бюджетное ограничение, если мы минимизуруем затраты???

Можно добавить бюджетное ограничение, так как возможен случай, что дельта-нейтральность при слишком маленькой сумме денег просто не будет достижима, т.е. задача решения иметь не будет. Т.е. получается еще вдобавок (x,m)<S.

[bubu gaga]

Может всё-таки $\langle x, m \rangle = S$? Кроме того подумайте, не стоит ли ограничить short selling.

P.S. Как решает Excel я не знаю, но LINGO насколько я помню решает через branch and bound.
http://mat.gsia.cmu.edu/orclass/integer ... 0000000000

[jeyana]

bubu gaga в сообщении #280455 писал(а):

Может всё-таки $\langle x, m \rangle = S$? Кроме того подумайте, не стоит ли ограничить short selling.

Нет, если равно, решения может и не быть + нам же не обязательно все деньги тратить.
Насчет short selling -- в смысле ограничить? Как мне кажется, добавление коротких продаж лишь снимает ограничение неотрицательности с вектора количеств m. Т.е. продажа колла на дельту портфеля влияет так же, как и покупка пута, и наоборот. Кстати, как это повлияет на нашу минимизацию? Совсем тогда как-то сложно получается.