Инвариантны ли подгруппы?

[arseniiv]

Я боюсь, что ошибся. Возьмём группу кватернионных единиц G = $\{1, i, j, k, -1, -i, -j, -k\}$. Почему-то у меня получилось, что все следующие подгруппы — инвариантные:
$H_1 = \{1, -1\}$ — в этом нет сомнений;
$H_i = \{1, i, -1, -i\}$; $H_j = \{1, j, -1, -j\}$; $H_k = \{1, k, -1, -k\}$ — сомнения есть. Но вроде бы все трансформации, например, $i$ есть $\pm i$, т.е. принадлежат $H_i$. Всё правильно?
И разложима ли эта моя группа $G$ на декартово произведение каких-нибудь других? Вроде нет...

[RIP]

arseniiv в сообщении #275984 писал(а):

$H_i = \{1, i, -1, -i\}$; $H_j = \{1, j, -1, -j\}$; $H_k = \{1, k, -1, -k\}$ — сомнения есть.

Напрасно. Подгруппы индекса 2 всегда нормальны.

А в $G$, которая вроде как обозначается обычно как $Q_8$, действительно, все подгруппы нормальны.

arseniiv в сообщении #275984 писал(а):

И разложима ли эта моя группа $G$ на декартово произведение каких-нибудь других?

Нет, т. к. иначе она была бы коммутативной.

[arseniiv]

RIP в сообщении #276117 писал(а):

которая вроде как обозначается обычно как $Q_8$

Спасибо за обозначение. Хотя боюсь, всё рвно забуду.
А некоммутативные группы более высоких порядков могут уже ведь быть разложены на произведение какой-нибудь некоммутативной группы на другие. Про то, что группы порядка 4 обе коммутативны, забыл.