Параметризация диофантовых уравнений

[Slava]

Какие существуют общие методы параметризации диофантовых уравнений?
Например, с помощью бинома Ньютона возможны параметризации таких уравнений:
$x^2+y^2=z^2$, где
$x=a^2-b^2, y=2ab, z=a^2+b^2$
$x^2 + y^m = z^2$, где
$x=a^m-2^m^-^2b^m, y=2ab, x=a^m-2^m^-^2b^m.
Параметризация следует из тождества:
$(p+q)^2-(p-q)^2=4pq.$
Таким способом удалось параметризовать уравнения:
$x^4+y^m+z^4^n^-^1=y^4$,
$x^4+y^m+z^4^n^-^3=y^4$ и т. д.
С помощью комплексных чисел возможны параметризации таких уравнений:
$x^2+y^2=z^m$, где
$x=P(p,q), y=Q(p,q), z=p^2+q^2$,
где многочлены получаются из тождества:
$(p+iq)^m=P(p,q)+iQ(p,q),$ где
$i$ - мнимая единица.
Меня интересуют такие вопросы:
С помощью каких методов удалось получить параметризацию таких уравнений и нельзя ли эти методы распространить на другие уравнения?
$x^3+y^3+z^3=t^3,$, где
$x=ap^2+(d^2-c^2)pq-b(a+b)(d-c)q^2,$
$y=bp^2-(d^2-c^2)pq-a(a+b)(d-c)q^2,$
$z=cp^2-(b^2-a^2)pq+d(a+b)(d-c)q^2,$
$t=dp^2-(b^2-a^2)pq+c(a+b)(d-c)q^2,$
где $a^3+b^3+c^3=d^3$.
Почему нет параметризации для уравнения
$x^4+y^4+z^4+t^4=u^4$?
Вообще непонятно как получили параметризацию уравнений
$x^2+y^3=z^3$, где
$x=(6p^2-6pq+q^2)(36p^4-36p^3q+18p^2q^2-6pq^3+q^4),$
$y=q(2p-q)(12p^2-6pq+q^2),$
$z=4p(3p-q)(3p^2-3pq+q^2)$
и
$x^2+y^4=z^3$, где
$x=4pq(p^2-3q^2)(3p^4+2p^2q^2+3q^4)(p^4+6p^2q^2+81q^4),$
$y=(p^2+3q^2)(p^4-18p^2q^2+9q^4),$
$z=(p^4+30p^2q^2+9q^4)(p^4-2p^2q^2+9q^4).$
Все параметры и решения в целых числах, степени в натуральных.

[maxal]

Slava в сообщении #275562 писал(а):

Почему нет параметризации для уравнения
$x^4+y^4+z^4+t^4=u^4$?

Есть бесконечная серия решений частного случая этого уравнения:
$x^4+y^4+z^4+t^4=(x+y+z+t)^4$
но она получается из точек некоторой эллиптической кривой и простыми формулами эту серию не опишешь. См. http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi-Madden_equation

Кстати, много других степенных параметрических тождеств есть на сайте: http://euler.free.fr/identities.htm