Посчитать несобственный интеграл

[MMM-2000]

Требуется вычислить интеграл, используя зйлеровы интегралы:

$$ \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{\sqrt{x-1}ln(x-1)}{x^2+3x}}dx $$

Замечания:
1) во-первых очень хочется для начала сделать замену $x-1=t$, тогда получится интеграл очень похожий на производную гамма-функции.
т.е. впринципе нужно выразить через гамма функцию $\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{\sqrt{t}}{(t+1)(t+4)}dt}$, что не так,т.к. он сводится к иррациональности и в лоб берется.
т.е. интеграл нужно изначально рассматривать вместе с логарифмом.
А что в этом случае делать не понимаю. =(
Подскажите, пожалуйста.

[ИСН]

До слов "нужно выразить через гамма функцию" всё идейно правильно. (Только не обязательно через гамма, а через что получится, то и ладно.)
Дальше... а где, собственно, функция? Вот этот вот интеграл, который в лоб берётся - это он функция? а от чего?

[Полосин]

Воспользуйтесь правилами разложения дробно-рациональной функции на простейшие, формулой $\int\limits_0^{+\infty}\frac{t^{\alpha-1}}{t+1}dt=\frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)} (0<Re\alpha<1)$ и правилами дифференцирования интегралов по параметру.

[MMM-2000]

ИСН
так там не функция получится а число, если я не обсчитался то $1/6(ln(5/2))$
Значит чтобы нам получить функцию нам стоит подрисовать где нибудь параметр...
Я пробовал впринципе пририсовывать параметры. Но толку мало. В этом случае интегралы взять не просто...

[ИСН]

Подрисовать параметр надо не "где-нибудь", а во вполне конкретном месте: чтобы производная по параметру получилась такая, как вон тот интеграл в самом начале темы.
Интеграл с подрисованным параметром, да, возможно, непросто взять. Но всё-таки он берётся.

[MMM-2000]

МММ. Значит надо брать интеграл

$$\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{t^{\alpha}}{(t+1)(t+4)}} $$

Будем пробовать... =)
Спасибо за то, что направили.
Если не возьмется сообщу =)

[ИСН]

(Оффтоп)

MMM-2000 в сообщении #275246 писал(а):

МММ. Значит надо брать интеграл

Так, я понял происхождение первой части Вашего ника.

Именно так. Берите, как будто Полосин никогда в этой теме ничего не говорил. Или таки посмотрите, что он сказал...

[Vtorokursnik]

Здравствуйте.
Мне необходимо вычислить интеграл (от 1 до бесконечности):
$\int \frac {\sqrt{x-1} ln(x-1)}{x^2+3x} {dx}$
Если бы в знаменателе не было этих "трехИкс", то я был бы счастлив - рассмотрел бы функцию
$F(p) =\int \frac {(x-1)^p \dx}{x^2}$ - этот интеграл я смог бы вычислить - а затем полученную функцию от p по p и продифференцировал бы...но...
Буду очень благодарен тому, кто подаст мне направление к решению.

[ozhigin]

не понимаю в чем проблема
рассмотрите $F(p) =\int \frac {(x-1)^p \dx}{x(x+3)}$ и дифференцируйте по $p$ подставите $p=1/2$
Конечно надо обосновывать, почему можно дифференцировать/ Но тут просто ,теорема в лоб применяется

[ИСН]

"Послушайте, Вы тот самый парень, который приходил вчера и спрашивал рыбьи сердца."
См. post275248.html

[PAV]

Темы объединены