2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Посчитать несобственный интеграл
Сообщение25.12.2009, 22:09 
Требуется вычислить интеграл, используя зйлеровы интегралы:
$$ \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{\sqrt{x-1}ln(x-1)}{x^2+3x}}dx $$

Замечания:
1) во-первых очень хочется для начала сделать замену $x-1=t$, тогда получится интеграл очень похожий на производную гамма-функции.
т.е. впринципе нужно выразить через гамма функцию $\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{\sqrt{t}}{(t+1)(t+4)}dt}$, что не так,т.к. он сводится к иррациональности и в лоб берется.
т.е. интеграл нужно изначально рассматривать вместе с логарифмом.
А что в этом случае делать не понимаю. =(
Подскажите, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение25.12.2009, 22:16 
Аватара пользователя
До слов "нужно выразить через гамма функцию" всё идейно правильно. (Только не обязательно через гамма, а через что получится, то и ладно.)
Дальше... а где, собственно, функция? Вот этот вот интеграл, который в лоб берётся - это он функция? а от чего?

 
 
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение25.12.2009, 22:17 
Воспользуйтесь правилами разложения дробно-рациональной функции на простейшие, формулой $\int\limits_0^{+\infty}\frac{t^{\alpha-1}}{t+1}dt=\frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)} (0<Re\alpha<1)$ и правилами дифференцирования интегралов по параметру.

 
 
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение25.12.2009, 22:57 
ИСН
так там не функция получится а число, если я не обсчитался то $1/6(ln(5/2))$
Значит чтобы нам получить функцию нам стоит подрисовать где нибудь параметр...
Я пробовал впринципе пририсовывать параметры. Но толку мало. В этом случае интегралы взять не просто...

 
 
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение25.12.2009, 23:08 
Аватара пользователя
Подрисовать параметр надо не "где-нибудь", а во вполне конкретном месте: чтобы производная по параметру получилась такая, как вон тот интеграл в самом начале темы.
Интеграл с подрисованным параметром, да, возможно, непросто взять. Но всё-таки он берётся.

 
 
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение25.12.2009, 23:15 
МММ. Значит надо брать интеграл
$$\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{t^{\alpha}}{(t+1)(t+4)}} $$
Будем пробовать... =)
Спасибо за то, что направили.
Если не возьмется сообщу =)

 
 
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение25.12.2009, 23:16 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

MMM-2000 в сообщении #275246 писал(а):
МММ. Значит надо брать интеграл

Так, я понял происхождение первой части Вашего ника. :D

Именно так. Берите, как будто Полосин никогда в этой теме ничего не говорил. Или таки посмотрите, что он сказал...

 
 
 
 Помогите свести интеграл к бета- или гама-функции.
Сообщение26.12.2009, 20:22 
Здравствуйте.
Мне необходимо вычислить интеграл (от 1 до бесконечности):
$\int \frac {\sqrt{x-1} ln(x-1)}{x^2+3x} {dx}$
Если бы в знаменателе не было этих "трехИкс", то я был бы счастлив - рассмотрел бы функцию
$F(p) =\int \frac {(x-1)^p \dx}{x^2}$ - этот интеграл я смог бы вычислить - а затем полученную функцию от p по p и продифференцировал бы...но...:(
Буду очень благодарен тому, кто подаст мне направление к решению.:)

 
 
 
 Re: Помогите свести интеграл к бета- или гама-функции.
Сообщение26.12.2009, 20:31 
не понимаю в чем проблема
рассмотрите $F(p) =\int \frac {(x-1)^p \dx}{x(x+3)}$ и дифференцируйте по $p$ подставите $p=1/2$
Конечно надо обосновывать, почему можно дифференцировать/ Но тут просто ,теорема в лоб применяется

 
 
 
 Re: Помогите свести интеграл к бета- или гама-функции.
Сообщение26.12.2009, 21:04 
Аватара пользователя
"Послушайте, Вы тот самый парень, который приходил вчера и спрашивал рыбьи сердца."
См. post275248.html

 
 
 
 Re: Посчитать интеграл
Сообщение26.12.2009, 22:20 
Аватара пользователя
 i  Темы объединены

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group