Да и решал в основном только когда граничные условия были равну нулю.
Стандартный приём таков: вычтите из искомой функции

-- и граничные условия вмиг станут нулевыми. Правда, при этом окажутся ненулевыми начальные условия, и волновое уравнение станет неоднородным, но методу Фурье это не помеха.