2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Функциональный ряд, дифференцируемость
Сообщение21.12.2009, 19:57 


09/12/09
34
Дан вот такой ряд:
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} { \frac{\sin((2^{n^2}) x)}{a^{n^2}} } $$

Доказать следующие 3 утверждения:
1) при $a>1$ сумма ряда непрерывна на $R$
2) при $a>2$ ряд можно дифференцировать
3) при $1<a<2$ сумма ряда не дифференцируема.

Первые два утверждения легко доказываются, так как при $a>1$ ряд сходится равномерно, при $a>2$ - ряд из производных сходится равномерно.

А вот с 3 непонятно что делать, сам по себе ряд просуммировать вроди не представляется возможным.
Подскажите пожалуйста, что можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение21.12.2009, 22:08 


13/11/09
166
Рассмотрите сумму ряда из производных в точке $x = 0$ и докажите недифференцируемость в этой точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение21.12.2009, 22:19 


09/12/09
34
mitia87 в сообщении #273901 писал(а):
Рассмотрите сумму ряда из производных в точке $x = 0$ и докажите недифференцируемость в этой точке.


=) помоему $S(x)= 0$ - дифференцируемая функция =)

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение21.12.2009, 22:35 


13/11/09
166
$S(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n(x)}, u_n(x) = \frac{sin((2^{n^2}) x)}{a^{n^2}} .$
Если сумма дифференцируема, то
$S'(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n'(x)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {cos((2^{n^2}) x) \left (\frac{2}{a} \right ) ^ {n^2} }.$
Тогда при $1 < a < 2$
$S'(0) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {\left (\frac{2}{a} \right ) ^ {n^2} } > \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 ^ {n^2} } = \infty.$

Вроде так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение21.12.2009, 22:42 


09/12/09
34
Вторая строчка не верна.
Чтобы почленно дифференцировать ряд нужна равномерная сходимость ряда из производных, а её нет. вы сами это в последней строке написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение21.12.2009, 22:45 


13/11/09
166
Так от противного :) или не пройдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение21.12.2009, 22:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mitia87 в сообщении #273916 писал(а):
Если сумма дифференцируема, то
$S'(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n'(x)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {cos((2^{n^2}) x) \left (\frac{2}{a} \right ) ^ {n^2} }.$

Из дифференцируемости суммы формально не следует, что ряд можно дифференцировать почленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение21.12.2009, 22:50 


09/12/09
34
Если предположить что сумма диференцируема и равняется ряду из производных то этим самым мы только сможем доказать, что если сумма и дефференцируема, то она не равняется ряду из производных. Вот.
А если предположить что сумма дифференцируема, то надо доказывать, что она равняется ряду из производных.

Вообщем от противного здесь не катит. =)

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение21.12.2009, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Можно делать так (возможно, можно и проще). Пусть $k\in\{0;1\}$ и $N\to+\infty$. Рассмотрим приращение функции $f(x+\pi2^{-N^2-k})-f(x)$. Из-за периодичности синуса все слагаемые с $n>N$ взаимно уничтожатся. Выделяя слагаемое с $n=N$, а остальные оценивая тривиально ($|\sin\alpha-\sin\beta|\le|\alpha-\beta|$), получаем
$$f(x+\pi2^{-N^2-k})-f(x)=\frac{\sin(2^{N^2}x+\pi2^{-k})-\sin2^{N^2}x+o(1)}{a^{N^2}}.$$
Оба выражения (т. е. при $k=0$ и $k=1$) не могут быть одновременно $O(2^{-N^2})$ при $N\to+\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение22.12.2009, 10:01 


09/12/09
34
Ммм.
У меня вызывает сомнения оценка...
К чему именно её надо применять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение23.12.2009, 22:01 


09/12/09
34
Прошу прощения но я так и не понял идею решения.
вот у нас есть приращение $f(x+\triangle  x)-f(x)$
Так как $\triangle x\to0$ то для доказательства недефференцирруймости нам достаточно рассмотреть две последовательности стремящиеся к 0
Вы взяли
$\pi *2^{-N-k}$ где k либо 0 либо 1
так теперь мы получаем
$$f(x+\pi *2^{-N-k})-f(x)= \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{sin((x+2^{-N-k})2^{n^2})-sin(x2^{n^2})}{a^{n^2}}} $$

Я понимаю что для любого $N$ эта сумма будет конечной.
Но дальнейший переход мне не совсем понятен.
Не могли бы вы его чуть-чуть поподробней осветить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение23.12.2009, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Все слагаемые с $n>N$ равны нулю (Вы, кстати, в правой части пи потеряли). Все слагаемые с $n<N$ будут достаточно малы, например, достаточно грубой оценки $O\left((2/a)^{(N-1)^2}2^{-N^2}\right)=o(N^{-1}a^{-N^2})$. Вот это у меня и написано.

-- Ср 23.12.2009 22:26:19 --

Да, у меня не $N$, а $N^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение23.12.2009, 22:44 


09/12/09
34
Да я описался.

МММ... А как от сюда будет следовать не дифференцируемость функции, если правая часть при обоих последовательностях стремиться к 0?
Противоречий нет в этом ни каких с дефференцируемостью.
Или я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение23.12.2009, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Из дифференцируемости следовало бы, что максимум модулей этих двух приращений был бы $O(2^{-N^2})$, в то время как этот максимум оценивается снизу как $c a^{-N^2}$, $c>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждения про ряд.
Сообщение24.12.2009, 10:13 


09/12/09
34
Прошу прощения за кучу формул, просто хочу гарантированно понять решение.

Так вот что у нас есть:
$$f(x+\pi *2^{-N^2-k})-f(x)= \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{sin((x+\pi2^{-N^2-k})2^{n^2})-sin(x2^{n^2})}{a^{n^2}}} = $$
$$=\sum\limits_{n=1}^{N-1}{\frac{sin((x+\pi2^{-N^2-k})2^{n^2})-sin(x2^{n^2})}{a^{n^2}}}$$

если $k=0$ то добавится слагаемое
$$ \frac{sin(x2^{N^2}+\pi  )-sin(x2^{N^2})}{a^{N^2}} $$
если $k=1$ то добавится слагаемое
$$ \frac{sin(x2^{N^2}+\frac{\pi}{2}  )-sin(x2^{N^2})}{a^{N^2}} $$

Теперь работаем с суммой:

$$\sum\limits_{n=1}^{N-1}{\frac{sin((x+\pi2^{-N^2-k})2^{n^2})-sin(x2^{n^2})}{a^{n^2}}}=$$
$$=\sum\limits_{n=1}^{N-1}{\frac{2sin(\pi2^{n^2-N^2-k-1})cos(x2^{n^2}+\pi2^{n^2-N^2-k-1})}{a^{n^2}}} $$
И вы её оцениваете сверху $O\left((2/a)^{(N-1)^2}2^{-N^2}\right)$. (правда оценка мне не очень понятна т.к. слагаемые в сумме могут быть разных знаков)
И это будет $o(a^{-N^2})$
А от куда берется что макссимум модулей ограничен сверху $c2^{-N^2}, c>0 $?
з.ы. что-то я вообще ничего не понимаю. :(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group