Функциональный ряд, дифференцируемость

[RIP]

MMM-2000 в сообщении #274703 писал(а):

И вы её оцениваете сверху $O\left((2/a)^{(N-1)^2}2^{-N^2}\right)$. (правда оценка мне не очень понятна т.к. слагаемые в сумме могут быть разных знаков)

Когда пишется оценка вида $O(\cdot)$, то сверху оценивается не сама величина, а её модуль. Или я не понял вопрос.

MMM-2000 в сообщении #274703 писал(а):

А от куда берется что макссимум модулей ограничен сверху $c2^{-N^2}, c>0 $?

Потому что $f(x+\Delta x)-f(x)=(f'(x)+o(1))\Delta x=O(|\Delta x|)$.

[MMM-2000]

Cо вторым понял, спасибо, буду знать этот факт.

А махинации с оценками до меня не доходят (дело не в обозначениях я их выучил как только в первый раз вы их применили (пусть и с Вики))
Дело в том что мы и оцениваем с верху приращение функции и в предположении что она дифференцируема ($O(\Delta x)$), и в ходе решения ( $O( (2/a)^{(N-1)^2})2^{-N^2}) $ ), что нам не дает гарантии не дефференцируемости.

з.ы. , за одно уж по поводу сомнений об оценке $O( (2/a)^{(N-1)^2})2^{-N^2})$, мне не полностью ясна оценка по сути, я понимаю от куда взялось $2^{(N-1)^2}$ и понимаю от куда могло взяться $2^{-N^2}$ но почему при a степень увеличилась, если мы оцениваем все дело сверху... непонятно

[RIP]

MMM-2000 в сообщении #274932 писал(а):

з.ы. , за одно уж по поводу сомнений об оценке $O( (2/a)^{(N-1)^2})2^{-N^2})$, мне не полностью ясна оценка по сути, я понимаю от куда взялось $2^{(N-1)^2}$ и понимаю от куда могло взяться $2^{-N^2}$ но почему при a степень увеличилась, если мы оцениваем все дело сверху... непонятно

Начну с этого. $n$-е слагаемое оценивается по порядку как $(2/a)^{n^2}2^{-N^2}$. Поскольку $2/a>1$, то эта оценка возрастает и принимает наиб. значение при $n=N-1$. Можно даже просуммировать и такую же оценку получить для всей суммы по $n\le N-1$, но в данном случае это не нужно, поскольку кол-во слагаемых ничтожно мало.

MMM-2000 в сообщении #274932 писал(а):

Дело в том что мы и оцениваем с верху приращение функции и в предположении что она дифференцируема ($O(\Delta x)$), и в ходе решения ( $O( (2/a)^{(N-1)^2})2^{-N^2}) $ ), что нам не дает гарантии не дифференцируемости.

Почему? Мы предположили дифференцируемость в некоторой точке $x$, поколдовали и получили противоречие. Кроме того, вторая оценка не есть оценка для приращения: это лишь кусок оценки (который в конечном счёте применяется для оценки снизу, а не сверху).

[MMM-2000]

Так первое понял. Спасибо.


Теперь по поводу второго. Похоже до меня начинает доходить.

Попробую сформулировать суть решения: Если функция дифференцируема то приращение ровняется $(f'(x)+o(1))*2^{-N^2}$. Теперь возьмем две вышеуказанные последовательности.
Получаем конечные суммы для каждого $N$.
Все слагаемые этой конечной суммы вместе (кроме $N$-ого) есть бесконечно малая относительно N-ого слагаемого при $N\to\infty$.
В свою очередь разность синусов в числителе $N$-ого слагаемого одной из двух последовательностей обязательно есть величина большая некоторого конкретного положительного $c$.
И порядок всего $N$-ого есть $a^{-N^2}$ -тоесть выше чем у приращения, если функция дифференцируема.
Соответственно начиная с некоторого номера $N$ наше $N$-ое слагаемое будет превышать допустимую для дифференцирования величину.
Я правильно понимаю?

[RIP]

MMM-2000 в сообщении #274973 писал(а):

Все слагаемые этой конечной суммы вместе (кроме $N$-ого) есть бесконечно малая относительно N-ого слагаемого при $N\to\infty$.

Это не совсем правильно (например, если $x=0$ и $k=0$, то $N$-е слагаемое равно нулю). Ровно из-за этого и рассматриваются 2 приращения: по крайней мере для одного это будет выполнено.
А в остальном вроде бы правильно.

[MMM-2000]

Огромное спасибо за помощь!!!

з.ы. Замечание понял