Задача по планеметрии

[decimal]

Дан равнобедренный треуголник. Требуется найти $cos \angle BAC$ и $cos \angle ABC$ , Решением должно быть число.
Дано: треугольник ABC - р/б
$\angle AHB $ - 90 градусов
$\angle ANC $ - 90 градусов
$\angle AKC $ - 90 градусов
BO = OH


Подскажите, с чего начать

[AD]

decimal в сообщении #273349 писал(а):

$\angle ANK $ - 90 градусов

Очепятка или рисунок настолько неаккуратен?

-- Вс дек 20, 2009 15:29:57 --

decimal в сообщении #273349 писал(а):

Дан равнобедренный треуголник.

Попробую угадать. $AB=BC$?

[decimal]

Опечатка, исправил

[meduza]

Если считать, что вы хотели написать, что $\angle ANC = 90^{\circ}$ и $\triangle ABC$ -- равнобедренный с основанием $AC$, то рассмотрите, к примеру, треугольники $AOH$ и $BOK$. Два угла у них равны, а значит...

[AD]

decimal, русские буквы в формулах не работают без специальных бубнов.

[ewert]

Уточнение: работают, но надо их окружать типа

\text{русские буквы}

[decimal]

meduza в сообщении #273362 писал(а):

Если считать, что вы хотели написать, что $\angle ANC = 90^{\circ}$ и $\triangle ABC$ -- равнобедренный с основанием $AC$, то рассмотрите, к примеру, треугольники $AOH$ и $BOK$. Два угла у них равны, а значит...

Они равны, следовательно $NBO$ и $COK$ тоже равны, но я все равно не вижу дальнейшего решения

[meduza]

decimal в сообщении #273369 писал(а):

Они равны

Ну во-первых, они не равны, а во-вторых, я вам не правильно подсказал

[decimal]

Я не в обиде. А более-менее правильные мысли есть? Или догадки, хотя-бы

[AKM]

decimal в сообщении #273349 писал(а):

Дан равнобедренный треуголник. Требуется найти $cos \angle BAC$ и $cos \angle ABC$ , Решением должно быть число.

Подскажите, с чего начать

Я бы начал с изложения оригинального условия , а не Вашей интертрепации. Что-то вроде "Дан треугольник ABC, AB=BC, точка O пересечения высот которого делит высоту AH пополам".

[meduza]

decimal
Вырази $BO$ через $BC$ и углы (не обязательно пока приводить всё к одному углу -- это можно сделать вконце). Затем вырази $OH=BH-BO=BC\cdot \sin \angle C - ...$ -- тоже будет через $BC$ и углы. Потом подставь в $BO=OH$, $BC$ сократится, дальше легко.

[Батороев]

Обозначьте угол $CAK$ через $\alpha$, угол $BAK$ через $\beta$
и решите уравнение:

$$ \tg(\alpha+\beta)=2\tg \alpha$$

учитывая то, что $ \beta = \dfrac{\pi}{2} - 2\alpha$.

[meduza]

(Оффтоп)

Опять я предложил самое нерациональное решение

[decimal]

meduza в сообщении #273574 писал(а):

decimal
Вырази $BO$ через $BC$ и углы (не обязательно пока приводить всё к одному углу -- это можно сделать вконце). Затем вырази $OH=BH-BO=BC\cdot \sin \angle C - ...$ -- тоже будет через $BC$ и углы. Потом подставь в $BO=OH$, $BC$ сократится, дальше легко.

У меня получилось $OH = \dfrac{1}{2}\sin\angle C * BC$, а $BH = \cos\dfrac{1}{2}B * BC$ и если $BH = 2OH$ то $\cos\dfrac{1}{2}B = 2 * \sin\angle C $ Я правильно уловил ход? Если да, то я не понимаю что делать дальше, если нет, то поправьте пожалуйста где я неправ.

Батороев в сообщении #273664 писал(а):

Обозначьте угол $CAK$ через $\alpha$, угол $BAK$ через $\beta$
и решите уравнение:

$$ \tg(\alpha+\beta)=2\tg \alpha$$

учитывая то, что $ \beta = \dfrac{\pi}{2} - 2\alpha$.

Я понятия не имею, как решать данное уравнение, в силу того что я этот материал пока не проходил и решение мне не зачтут.

[meduza]

decimal в сообщении #273786 писал(а):

Я понятия не имею, как решать данное уравнение, в силу того что я этот материал пока не проходил и решение мне не зачтут.

Проходили. То же уравнение можно переписать в виде

$$\tg \angle A = 2 \tg \left(\frac {\pi} 2 - \angle A\right)$$

Убери из правой части $\frac {\pi} 2$ (по формуле приведения) и минус ($\ctg (-x) = - \ctg x$). Найди чему равен тангенс (обычное уравнение -- никакой тригонометрии, если вспомнить, что $\ctg x=\frac 1 {\tg x}$), $\angle A$ соответственно арктангенс.