Вычислить интеграл (метод ТФКП)

[Azog]

Собственно задача вычислить интеграл:

$$\int_0 ^1 \frac{x^{1-p}(1-x)^p}{(1+x)^3}dx,$$

где $-1<p<2$Собственно понятно, что решать нужно, пользуясь комплексным анализом. Однако составить разумный контур, дабы применить теорему вычетов, у меня не получается . Подскажите =)

[ewert]

В таких случаях контур обычно натягивают на отрезок $[0;1]$, т.е., собственно, составляют из верхнего и нижнего берегов разреза, проведённого по этому отрезку. Интеграл по верхнему берегу, в принципе, совпадает с интегралом по нижнему, но отличается от него на некоторый постоянный множитель, равный по модулю единице. Т.е. интеграл по всему контуру -- это с точностью до некоторого множителя то, что нужно.

[AD]

Удалил вторую точно такую же тему.
RIP, спасибо за наводку.

RIP в удалённом дубле писал(а):

Сделайте замену переменных $t=(1-x)/(1+x)$.

[ewert]

Не шибко-то эта замена поможет. Да и главное: не в ней пафос был, а в том, чтобы посчитать тот интеграл именно средствами ТФКП.

[RIP]

ewert в сообщении #273426 писал(а):

Не шибко-то эта замена поможет.

Почему же? Сразу получится обычный бета-интеграл.

Да, и кстати.

ewert в сообщении #273217 писал(а):

Т.е. интеграл по всему контуру -- это с точностью до некоторого множителя то, что нужно.

Это не совсем так. Там ещё интеграл по единичной окружности вылезет (понятно, что замыкать контур надо именно по единичной окружности).[поторопился, не подумал]

[ewert]

RIP в сообщении #273430 писал(а):

Там ещё интеграл по единичной окружности вылезет (понятно, что замыкать контур надо именно по единичной окружности).

не по единичной, а по бесконечно большой, это автоматом игнорируется

[RIP]

ewert в сообщении #273434 писал(а):

RIP в сообщении #273430 писал(а):

Там ещё интеграл по единичной окружности вылезет (понятно, что замыкать контур надо именно по единичной окружности).

не по единичной, а по бесконечно большой, это автоматом игнорируется

Откуда ж возьмётся бесконечный радиус, когда интеграл по отрезку?

[ewert]

Внутренний интеграл -- по минимальному охвату отрезка, а внешний -- по бесконечно раздувающейся окружности (интеграл по коей в пределе есть ноль). А между ними -- полюс.

[RIP]

Да, с единичной окружностью я погорячился. Действительно, замыкать надо по окружности $|z|=R\to+\infty$. Просто интегралы по отрезкам $[1;1+R]$ уничтожатся. Не знал такой трюк.
Я, собственно, вот по какой причине тупил. Поскольку функция многозначная, то я пытался придумать контур, который ограничивает односвязную область. Но в данном случае нам крупно повезло: однозначную ветвь можно выделить в неодносвязной области $\mathbb C\setminus[0;1]$.