подсчет вычетов

[aVague]

найти вычеты ,и классифицировать особые точки
1)$\frac{1}{z(z^2+4)^2}$ ;$\sin\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}$,2)$\frac{1}{z^2} $ вроде никак не влияет на вычеты кроме как если бы его не было ,то функция была бы нечетная и вычет в 0 равнялся бы 0 и 3)$\frac{1}{\sin z}$
для 1)вроде как три особые точки одна 0 ,другая $\pm 2i$ 0 полюс первого порядка,а вот как обосновать, что $\pm 2i$ полюс 2-ого порядка (грамотно обосновать)? в этом примере вроде действует формула $res=\frac{\phi(a)}{\psi '(a)}$ и ф-ла для 2-ого порядка.

2-ой пример $\sin \frac{1}{z}$ имеет существенную особенность в точке 0 вроде и как посчитать?
3-ий пример полюсы в точках $\pi*n,n-$целое вроде тоже через формулу $res=\frac{\phi(a)}{\psi '(a)}$

[Leox]

Для начала вспомните определение полюса порядка $k.$

[aVague]

полюс порядка k -это точка , в которой предел = бесконечности до k-ой производной или не так?
хотя нет, когда предел $f(z)(z-a)^k$ равен бесконечности , а для n>k не равен
по идее эти определения не эквивалентны , верно второе

[aVague]

так как посчитать вычет $\sin\frac{1}{z}$?

[Полосин]

Воспользуйтесь тем, что вычет в (конечной изолированной особой) точке равен коэффициенту при минус первой степени в разложении в ряд Лорана с центром в этой точке.

[aVague]

И что?разложить $\sin\frac{1}{z}$ то я в 0 не могу

[Полосин]

Это почему же?

Почитайте все-таки учебник.

[ewert]

aVague в сообщении #272887 писал(а):

полюс порядка k -это точка , в которой предел = бесконечности до k-ой производной или не так?
хотя нет, когда предел $f(z)(z-a)^k$ равен бесконечности , а для n>k не равен
по идее эти определения не эквивалентны , верно второе

Да, многие любят именно такой вариант определения (к сожалению).

А к сожалению -- потому что он безыдеен. На самом деле всё гораздо проще: порядок полюса -- это просто старшая из ненулевых отрицательных степеней (взятая, конечно, по модулю) разложения в ряд Лорана.

[aVague]

почитал учебник, ничего про это не нашел.

[Leox]

aVague в сообщении #273087 писал(а):

почитал учебник, ничего про это не нашел.

Ряд в нуле єто просто ряд по степеням $z$

[aVague]

ну и что?

[Leox]

aVague в сообщении #273123 писал(а):

ну и что?

зная разложение $ \sin z$ в ряд по $z$ , найдете разложение $\sin \dfrac{1}{z}$ в ряд по $ \dfrac{1}{z}.$

[Полосин]

aVague в сообщении #273087 писал(а):

почитал учебник, ничего про это не нашел.

Что ж это за учебник такой? Рекомендую: Лаврентьев, Шабат, "Методы ТФКП".

[aVague]

Цитата:

зная разложение $ \sin z$ в ряд по $z$ , найдете разложение $\sin \dfrac{1}{z}$ в ряд по $ \dfrac{1}{z}.$

так $\sin z $ в нуле раскладывается как $z-\frac{z^3}{6}+...$
а $\sin\frac{1}{z}$ в нуле так не раскладывается

[ewert]

$\sin{1\over z}=\sin w,\quad w\equiv{1\over z}$