Последние три цифры числа 2^10000

[valiko]

Быть может, тупым перебором степеней двойки? До ста вполне можно. Написать программу, например.

[chifa]

valiko, мысль у меня была, но такое решение у меня не примут, нужно что-то более математическое

[maxmatem]

ну можно без теории групп. а как на теории чисел поступают, найдите остаток от деления на 1000, и всё !

[Батороев]

Т.к. $2^{10000}=2^{10^{10^{10^{10}}}}$
то может быть, рассмотреть так:
$2^{10}\equiv 24\pmod {1000}$
$24^{10}\equiv 376\pmod {1000}$
$376^{10}\equiv 376\pmod {1000}$
$376^{10}\equiv 376\pmod {1000}$

[Профессор Снэйп]

chifa в сообщении #275696 писал(а):

Профессор Снэйп в своем решении чрез теорию групп писал, что $2^{100}~mod~125 = 1$. Это возможно, только если $\mathbb{Z}_{125}^* = (2)$.

Почему? Не обязательно!

Просто значение функции Эйлера $\varphi(125) = 100$, то есть $100$ --- это порядок группы $\mathbb{Z}_{125}^\ast$. А любой элемент группы в степени порядок группы равен $1$.

Так что двойка не обязана быть образующей группы $\mathbb{Z}_{125}^\ast$ для выполнения равенства $2^{100} \equiv 1(\mathrm{mod}\, 125)$. Лишь бы была просто элементом группы. Более того, я даже не знаю, верно ли, что $\mathbb{Z}_{125}^\ast = (2)$.

-- Пн дек 28, 2009 22:06:49 --

Батороев в сообщении #275970 писал(а):

Т.к. $2^{10000}=2^{10^{10^{10^{10}}}}$

Скобки забыли расставить: $2^{10000} = (((2^{10})^{10})^{10})^{10}$. А так, как Вы написали, может быть не верно

[Батороев]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #275987 писал(а):

Батороев в сообщении #275970 писал(а):

Т.к. $2^{10000}=2^{10^{10^{10^{10}}}}$

Скобки забыли расставить: $2^{10000} = (((2^{10})^{10})^{10})^{10}$. А так, как Вы написали, может быть не верно

Первый раз написал такое большое число. Так, что первый блин...