Функция на плоскости

[Профессор Снэйп]

В теме Putnam 2009 под номером A1 фигурирует следующая интересная, хотя и весьма простая задача:

dm в сообщении #268987 писал(а):

Вещественнозначная функция $f$ задана на плоскости и для любого квадрата $ABCD$ удовлетворяет равенству $f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0$. Обязательно ли $f(P)=0$ для всех точек $P$ плоскости?

Мне стали интересны следующие два вопроса:

A1-1. Вещественнозначная функция $f$ задана на плоскости и для любого единичного квадрата $ABCD$ удовлетворяет равенству $f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0$. Обязательно ли $f(P)=0$ для всех точек $P$ плоскости?

A1-2. Вещественнозначная функция $f$ задана на плоскости и для любого равностороннего треугольника $ABC$ удовлетворяет равенству $f(A)+f(B)+f(C)=0$. Обязательно ли $f(P)=0$ для всех точек $P$ плоскости?

[OV08]

А1-2 Можно даже немного обобщить Пусть у нас дано это условие для правильного n-угольника
Пусть $X$ произвольная точка. Расмотрим правильный n-угольник $XX_1...X_{n-1}$ Расматриваем повороты с центром в X на углы $\frac{2k\pi}{n}$
$0\leq k\leq n-1. $. При этом образ точки $X_i$ при повороте обозначим $X_{ki}.$ ($X_{k0}=X$) Тогда из условия:
$0=\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}{f(X_{ki})= nf(X)+\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}{f(X_{ki})}=nf(X)+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}{f(A_{ki})}=nf(x)}$
Последнее верно, так, как $X_{0i}X_{1i}... X_{n-1,i}$ тоже правильный. Вроде так.