Предел функции м Лопиталя

[Bardo]

Ммм... Господа, помогите найти предел функции по правилу Лопиталя.

$$\lim_{x\to a}\frac{\cos(x)\ln(x-a)}{\ln(e^x - e^a )}$$

По порядку относительно того, как я делал и что вызвало трудности. Сперва все, вроде, очевидно в решении. Идет без затруднений. Видна неопр. вида бесконечность на бесконечность. Можем взять производную. Я её и взял. Получается большое выражение, которое также дает неопределенность и, при этом, брать производную от него краайне неудобно (производная от произведения трех функций). Возможно, есть какая-то хитрость и его можно как-то упростить?

[ewert]

Для начала -- распишите как произведение предела косинуса на предел остальной дроби (если последний существует и не бесконечность, то это корректно). И возитесь только с последним. Долго возиться не придётся.

[Bardo]

Ммм... У меня предел второй функции дал, в конце концов, единицу. А окончательны результат - $cos(a)$. Верно? Ответов у меня нет, так хотелось бы свериться точно.

[ewert]

Bardo в сообщении #270016 писал(а):

Верно?

Верно.

[Bardo]

Я, всё-таки, не до конца уверен в правомерности такого хода. Возможно, есть другие мнения? С Вольфрамом ответ точно не сходится. Там, почему-то, вообще ответ "комплексный". Во-вторых, я попробовал решать, введя замену. Тоже другой ответ получается.

[ewert]

Ну давайте по гамбургергскому счёту. Выкинем никому не нужный косинус, и сделаем напрашивающуюся замену $x-a=t\to0$. Тогда получится предел в нуле $\displaystyle{\ln t\over a+\ln(e^t-1)}$. Лопиталим, получаем $\displaystyle{e^t-1\over t\,e^t}$; какие вопросы?...

[Sintanial]

Ну не знаю на счет Вольфрама, а мейпл говорит что ответ правильный $\cos(a)$ =)

[Bardo]

Таки да... Большое спасибо за то, что помогли разобраться =)

[AD]

Ставьте слеши перед логарифмами: $lnx$ vs. $\ln x$.

$lnx$ vs. $\ln x$.

Зведочка обозначает свёртку, не используйте ее вместо умножения, хочется умножить - используйте "$\cdot$" или "$\times$"

"$\cdot$" или "$\times$"

Да, и еще. Три знака доллара - это перебор