помогите разобраться в пределах с корнями

[NeBotan]

День добрый. Надо решить 2 , на мой взгляд, похожих предела с корнями, и в обоих у меня возникает тупняк, как от этих самых корней избавиться?
Вот примеры.

1. $\\lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt[3]{n^2+cosn}+\sqrt{3n^2+2}}{\sqrt[5]{n^6+1}}$
2. $\lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt[3]{27n^3+4}}{\sqrt[4]{n}-\sqrt[3]{n^5+n}}$

Оба примера пытался решать через Лопиталя, либо через вынесение n в наибольшей степени из-под корня, чтобы оставшийся корень разложить в ряд, но что-то потом ничего не удавалось сократить
Подскажите пожалуйста, как можно избавиться от разных корней, чтобы я мог разобраться и решить примеры до конца?
со вторым примером я застрял вот на этом месте:
$\lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt[3]{27n^3+4}}{\sqrt[4]{n}-\sqrt[3]{n^5+n}}=\lim_{n\to \infty }\frac{2\sqrt{n}\sqrt{1+4/n}-3n\sqrt[3]{1+\frac{4}{27n^3}}}{\sqrt[4]{n}-n^{5/3}\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^4}}}$
по-хорошему, все корни стремятся к 1, но вот остаются n в разных степенях, которые что-то у меня не сокращаются. С первым застрял на похожем месте.
Надеюсь услышать ценные мысли и продолжить обсуждение этих примеров.

Также вопрос по коду: что-то у меня n, стремящееся к бесконечности, не прописывается под лимитом , хотя в онлайн-редакторе латеха все написано аккуратненько.

[MTV]

$\lim\limits_{n \to \infty}$

\lim\limits_{n \to \infty}

В первом пределе не от чего избавляться. Просто разбиваем предел на две дроби (растаскиваем числитель) и убеждаемся (выносим старший $n$ из под корня и сокращаем), что оба предела существуют и равны нулю.
Поди ка та же песня и со вторым пределом.

Лопиталь выражениях, где куча корней и прочих гадких вещей, где производная только разрастается - гиблое дело.

[NeBotan]

пасиб. щас попробую.
и спасибо за код предела.

[lioness]

Я бы решила второй пример вот так (картинка удалена)
А первый согласна достаточно разбить на два

AKM:

Извольте соблюдать правила!

[ewert]

Во втором пределе Вы как-то удивительно вынесли. С какой стати после вынесения за скобки выскочит хоть какая разность-то?...

В обоих случаях изо всех семи слагаемых (если, конечно, Вы букафки/цифирки не переврали) доминирующим в каждой паре будет лишь одно. Вот его и нужно выносить за скобки.

[NeBotan]

а это фраза к кому относилась? про 7 слагаемых?

[lioness]

ewert в сообщении #268909 писал(а):

Во втором пределе Вы как-то удивительно вынесли. С какой стати после вынесения за скобки выскочит хоть какая разность-то?...

В обоих случаях изо всех семи слагаемых (если, конечно, Вы букафки/цифирки не переврали) доминирующим в каждой паре будет лишь одно. Вот его и нужно выносить за скобки.

А какая разница в какой степени n выносить, если NeBotan потом не сокращал, а просто определял какая из степеней больше и на нее можно было бы поделить, а наибольшая там n^5/3 И в результате получится число равное нулю (В числителе 0 В знаменателе - 1, а 0/(-1) = 0), что в принципе и из моего решения следует. Так что оба варианта правильные.
И этот
$\lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt[3]{27n^3+4}}{\sqrt[4]{n}-\sqrt[3]{n^5+n}}=\lim_{n\to \infty }\frac{2\sqrt{n}\sqrt{1+4/n}-3n\sqrt[3]{1+\frac{4}{27n^3}}}{\sqrt[4]{n}-n^{5/3}\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^4}}}$
только нужно поделить каждое слагаемое на $n^{5/3}$
И мой с Лопиталем

[NeBotan]

то, что я просто выносил степени и смотрел, какая больше, вовсе не значит, что я нахожу этот ответ конечным и правильным. наоборот, я думаю, что можно найтить какой-то подход, чтобы избавиться от этих поганых корней и привести и числитель и знаменатель к хорошим конечным числам.

[ewert]

NeBotan в сообщении #268925 писал(а):

чтобы избавиться от этих поганых корней

Для начала -- вынесите из-под каждого корня главное слагаемое (явно много большее остальных). И вот только если эти главные слагаемые в какой-то разности будут сокращаться -- только тогда и следует о чём-то задумываться. В Ваших же примерах -- такого откровенно не происходит.

[lioness]

ewert в сообщении #268930 писал(а):

Для начала -- вынесите из-под каждого корня главное слагаемое (явно много большее остальных). И вот только если эти главные слагаемые в какой-то разности будут сокращаться -- только тогда и следует о чём-то задумываться. В Ваших же примерах -- такого откровенно не происходит.

Странное рассуждение, никогда не сталкивалась с подобным выводом. Не все пределы берутся путем сокращения. Тем более с неопределенностью бесконечность/бесконечность. Для этой неопределенности прямо написано что метод используется: Деление числителя и знаменателя на аргумент в наибольшей степени. А сокращение происходит в неопределенности 0/0. Есть методы с домножением на сопряженное, но в данном случае, он не помошник. Оптимальный метод это Лопиталь, лично меня он никогда не подводил, либо можно сделать так как NeBotan написал, только продолжить решение.

[Фантом]

А зачем так сложно? Есть такая полезная вещь, как эквивалентная замена. Если взять, например, первый предел, то видно, что его числитель
$\sqrt[3]{n^2 + \cos n}+\sqrt{3 n^2+2} \sim n^{2/3} + \sqrt{3} \, n \sim \sqrt{3} \, n $,
а знаменатель
$\sqrt[5]{n^6+1} \sim n^{6/5}$.

В итоге последовательность ведет себя как$3 n^{-1/5}$, т.е. ее предел равен нулю.

Второй предел решается точно тем же образом. Числитель эквивалентен $-3 n$, а знаменатель $-n^{5/3}$. В итоге предел также нулевой.

[bot]

А разве ровно не об этом же говорили предыдущие ораторы MTV и ewert?
Судя по вопросу, сомнительно, чтобы топикстартер уверенно владел значком $\sim$ и даже не факт, что он ему известен.
Так что у Вас не проще, а сложнее.

[Фантом]

bot в сообщении #269019 писал(а):

А разве ровно не об этом же говорили предыдущие ораторы MTV и ewert?

Фактически о том же. Просто это был ответ в основном на последнее сообщение lioness.

[MTV]

(Оффтоп)

lioness в сообщении #268944 писал(а):

Оптимальный метод это Лопиталь, лично меня он никогда не подводил

Насчет оптимальности - вынужден не согласиться. (Знаю только пару-тройку примеров, где без Лопиталя в самом деле не обойтись). Стоит появиться произведениям и всяческим корням - выражение начнет сурово расползаться по мере взятия производных, что, разумеется, ни к чему хорошему не приводит.
На мой вкус, игра с бесконечно малыми, эквивалентностями и Тейлором куда универсальнее.

[ewert]

MTV в сообщении #269162 писал(а):

(Оффтоп)

lioness в сообщении #268944 писал(а):

Оптимальный метод это Лопиталь, лично меня он никогда не подводил

Насчет оптимальности - вынужден не согласиться. (Знаю только пару-тройку примеров, где без Лопиталя в самом деле не обойтись). Стоит появиться произведениям и всяческим корням - выражение начнет сурово расползаться по мере взятия производных, что, разумеется, ни к чему хорошему не приводит.
На мой вкус, игра с бесконечно малыми, эквивалентностями и Тейлором куда универсальнее.

(Оффтоп)

Это во многих случаях (статистически, может, и в большинстве) правда, но далеко не всегда. Попробуйте, например, Тейлорами найти предел ${\ln x\over x}$ -- ни в жисть не выйдет. И попытки ручного доказательства -- выйдут удручающе занудными. А вот Лопиталем -- в момент.