Придумать функцию

[ozhigin]

Привести пример непрерывной положительной функции $f(x)$, $x\in[0,+\infty]$, для которой

$$\int\limits_{0}^{\infty} f(x) dx$$

сходится и {\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} f(x) \neq0

Это номер 12.172 в Сборнике задач Кудрявцева 2 том, там есть 2 варианта ответа, но хотелось бы другой вариант.

Сначала пришла идея $f(x)=0$ ,но предел равен нулю
Потом возникла идея с $f(x)=sin(e^x)$, но она не положительная

помогите

[gris]

Этого не может быть, промежуток будет между функцией и осью абсцисс при достаточном удалении от нуля. И интеграл разойдётся.

-- Вс ноя 29, 2009 17:57:43 --

Вот если бы предел не существовал...

[ozhigin]

т.е. не понял такого быть не может?

[gris]

Тогда легко построить. $y=1/(x+1)^3$
И делать на ней прыщики постоянной высоты, но убывающей как прогрессия площади.

[ewert]

gris в сообщении #266423 писал(а):

Вот если бы предел не существовал...

Ровно это и имелось в виду.

Тривиально. Последовательность колокольчиков высоты, например, ровно единичной, но с достаточно быстро сжимающимися основаниями. Ну плюс прибавить какую-нибудь простенькую функцию, дающую сходящийся интеграл, если есть озабоченность именно строгой положительностью.

Поиграться со степенями синусов, конечно, можно. Но, по-моему -- это некоторое извращение.

[ozhigin]

предел равен 0 в бесконечности...
оказалось у меня другое задание...это разница в старом и новом учебнике..

ОТВЕТ есть
сумма функции $e $ в степени$-x$

[gris]

(Оффтоп)

Вот почему мне всегда в голову приходят прыщики разные, а поэтическим натурам колокольчики... Интересно, цветы или бубенчики?

[ewert]

(Оффтоп)

зараза

[ozhigin]

математика -красивая наука, ничто поэтическое ей не чуждо)

[AD]

(Оффтоп)

А у меня одни столбики на уме ...

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

У меня шапочки...

Интересно, что бы пришло на ум дедушке Фрейду

[ewert]

(Оффтоп)

AD в сообщении #266489 писал(а):

[off]А у меня одни столбики на уме ...

Тут, наверное, дело вот в чём. Каждый минимизирует контрпример в меру своей извращённости. Кому-то кажется, что достаточно ограниченности, и о чём ещё думать; ну а кому-то -- что и бесконечной дифференцированности хватит, раз уж её можно добиться, чего ж ещё и задумываться-то. Кто к каким пространствам привычен.

Ну так вот в этом примерчике просто ограниченности -- не хватит, просто по постановке задачи.

Но это, конечно, сугубо лирическое отступление.[/off]

тыпс. Я возмущён. Почему, собственно, вложенные оффтопики не работают?!...

[gris]

Sorry

[ewert]

интересен лирический вопрос: кто с кем говорит-то, собственно?...

[IFRIT]

дабы вы не скучали и не оффтопили - придумайте функцию - $f(x+y)$=$f(x)*f(y)$. Но! она должна быть не непрерывной. Развлекайтесь)