Наградил Господь интегралом!

[Vic]

Здравствуйте! Сегодня мне посчастливилось столкнуться с вот таким, просто замечательным явлением:
$\frac2l\int2xe^t\cos\frac{(1+2n)}{2l}xdx$
Интеграл определённый, от нуля до l. Не знаю, как правильно написать Но дело не в его написании, а в том, что с самим интегралом не знаю что делать... Помогите, если можете...

[ewert]

та тю, просто напишите, что он икс куб на три на тех пределах, всего-то и делов...

[ИСН]

Уберите лишние детали, мешают. Вот эта $2\over l$ - точно необходима? без неё интеграл берётся как-то иначе?
ну и остальные тоже.

[meduza]

Уберите все константы за знак интеграла и он уже не будет казаться вам таким страшным

[gris]

Там наверное
$\frac2l\int2xe^t\cos\left(\frac{(1+2n)}{2l}x\right)dx$
По частям его.

[Vic]

Тупая я, тупая... Вот только все константы уже убраны. Интеграл не решается без коэффициента разложения (что перед ним), а два икс, ё в степени тэ и косинус, по которому разложение делается - ФУНКЦИИ, которые входят в начальные условия задачи теплопроводности. Они обязаны интегрироваться... Тут, в этом примере, - их произведение. Если две функции были бы, то это элементарно просто. Вэ-У. И далее по правилам. А тут... Надо как-то переделать, чтобы было два интеграла и каждый - от произведения не более чем двух функций. Во, задачка-то! Первая была проще. Там не было икса. Было просто А, кое мы и вынесли за знак интеграла. Далее было ё в степени и косинус, который снова множился на синус. Мы синус и косинус тригонометрически преобразовали, получилась красивая сумма. А тут - ниффикка!!! Я в шоке!!!

[ewert]

Великолепнейший поток сознания! И особенно:

Vic в сообщении #265760 писал(а):

Интеграл не решается без коэффициента разложения (что перед ним),

Есть предложение -- запомнить на всю жизнь две вещи: а) интеграл вообще никогда не решается и б) плявать интегралу самому по себе, что перед ним.

Тогда, не исключено, и жизнь легче покажется.

[Vic]

Хотя, я могу и ошибаться. Может есть какой-то не известный мне способ интегрировать по частям произведение ТРЁХ функций??? До сих пор я знала только правило для двух...


...Ну, что перед интегралом - это как раз самое простое. Я о ТРЁХ ФУНКЦИЯХ, КОТОРЫЕ В ПРОИЗВЕДЕНИИ под знаком интеграла. А коэффициент после интегрирования просто арифметически приписывается к общему решению. Я в курсе.

Ещё раз:
[1]первая функция - это 2х;
[2]вторая - это $e^t$;
[3]и третья - $\cos\frac{\pi(1+2n)}{2l}$

[meduza]

Vic
Может вы напишите нам интегральчик в нормальном виде. На данный момент для меня $2e^t$ -- константа. И разберитесь с косинусом, $x$ входит туда или нет?

Vic в сообщении #265762 писал(а):

Может есть какой-то не известный мне способ интегрировать по частям произведение ТРЁХ функций???

А рассматривать произедение двух любых "функций", входящих в интеграл, как одну вам религия не позволяет?

[bot]

Под интегралом одна функция и её можно разбить в произведение любого желаемого числа сомножителей.
Более существенный вопрос:

у Вас под интегралом $e^t$ или $e^x$? Разницы принципиальной нет - по частям, но во втором случае сложнее.

ЗЫ. Красный цвет - это для модераторов, так что уберите его из подписи, пока модераторы не настучали по бандане.

[neverland]

Или $dt$ надо дописать быть может

[bot]

И ещё один интеграл?

[Vic]

bot в сообщении #265765 писал(а):

Под интегралом одна функция и её можно разбить в произведение любого желаемого числа сомножителей.
Более существенный вопрос:

у Вас под интегралом $e^t$ или $e^x$? Разницы принципиальной нет - по частям, но во втором случае сложнее.

ЗЫ. Красный цвет - это для модераторов, так что уберите его из подписи, пока модераторы не настучали по бандане.

Ой, модераторы - это, конечно, люди полезные. Для них хоть звёздочку с неба. А синий цвет чей? Надеюсь, не модераторский? Ато так может получиться, что модераторы себе все цвета, кроме чёрного, позабирали... А это - нарушение прав человека!
Ладно. Оффтоп заканчиваем. Теперь непосредственно к функции. Это действительно $e^t$, а не $e^x$. Время входит в начальные условия, функция $u(x,0)=5x$ (то есть, в нуле не равна нулю). Сама задача представляет из себя неоднородное уравнение теплопроводности типа "В" с однородными граничными условиями (метод Фурье). Интеграл, к которому мы приходим в процессе, берётся по $x$. Но я бы не спешила $e^t$ в связи с этим сразу относить к константам. Тут необходимо разобраться. Может мне надо написать полностью условие задачи? Так будет проще?

Цитата:

Или $dt$ надо дописать быть может

Угу... В том-то и дело, что неоднородное уравнение такого типа имеет приплюсованную функцию $F(x,t)$. Этот интеграл - её аналитическое выражение, необходимое для окончательного решения. Возможно, что и надо дописать $dt$. Я сейчас подумаю...
Так или иначе, нам, как мне кажется, всё равно прийдётся решать именно такого типа интеграл - с тремя помноженными друг на дружку функциями. Мне сейчас очень сложно представить, как можно такой интеграл преобразовать... Вот в чём вся проблема...
Ещё раз пишу интегральчик в том виде, к какому пришла. В подробностях:
$f_n(t)=\frac2l\int2xe^t\cos\frac{\pi(1+2n)}{2l}xdx$
Объясняю:
$X_n(x)=\cos\frac{\pi(1+2n)}{2l}$

[ewert]

Vic в сообщении #265917 писал(а):

Сама задача представляет из себя неоднородное уравнение теплопроводности типа "В" с однородными граничными условиями (метод Фурье).

Тогда у Вас -- коэффициент Фурье для разложения свободного члена. Естественно, $x$ должен сидеть под косинусом. Интегрировать по $t$, естественно, не нужно -- во всяком случае пока, а дальше уж всё будет зависеть от того, каким способом вы соберётесь решать полученные дифуравнения для этих коэффициентов по времени.

Исходную постановку задачи привести действительно не помешало бы.

[Vic]

Ну, правильно, в принципе. Для времени потом пишется отдельное условие.
Задача имеет вид вот такой:
$U_t=4U_xx+2xe^t$
$U(0,t)=U_x(l,t)=0$
$U(x,0)=5x$
$t\ge0$