2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 17:58 
Аватара пользователя
Здравствуйте! Сегодня мне посчастливилось столкнуться с вот таким, просто замечательным явлением:
$\frac2l\int2xe^t\cos\frac{(1+2n)}{2l}xdx$
Интеграл определённый, от нуля до l. Не знаю, как правильно написать :lol: Но дело не в его написании, а в том, что с самим интегралом не знаю что делать... Помогите, если можете...

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:03 
та тю, просто напишите, что он икс куб на три на тех пределах, всего-то и делов...

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:07 
Аватара пользователя
Уберите лишние детали, мешают. Вот эта $2\over l$ - точно необходима? без неё интеграл берётся как-то иначе?
ну и остальные тоже.

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:08 
Аватара пользователя
Уберите все константы за знак интеграла и он уже не будет казаться вам таким страшным

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:14 
Аватара пользователя
Там наверное
$\frac2l\int2xe^t\cos\left(\frac{(1+2n)}{2l}x\right)dx$
По частям его.

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:17 
Аватара пользователя
Тупая я, тупая... Вот только все константы уже убраны. Интеграл не решается без коэффициента разложения (что перед ним), а два икс, ё в степени тэ и косинус, по которому разложение делается - ФУНКЦИИ, которые входят в начальные условия задачи теплопроводности. Они обязаны интегрироваться... Тут, в этом примере, - их произведение. Если две функции были бы, то это элементарно просто. Вэ-У. И далее по правилам. А тут... Надо как-то переделать, чтобы было два интеграла и каждый - от произведения не более чем двух функций. Во, задачка-то! Первая была проще. Там не было икса. Было просто А, кое мы и вынесли за знак интеграла. Далее было ё в степени и косинус, который снова множился на синус. Мы синус и косинус тригонометрически преобразовали, получилась красивая сумма. А тут - ниффикка!!! Я в шоке!!! :shock: :shock: :shock:

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:21 
Великолепнейший поток сознания! И особенно:

Vic в сообщении #265760 писал(а):
Интеграл не решается без коэффициента разложения (что перед ним),

Есть предложение -- запомнить на всю жизнь две вещи: а) интеграл вообще никогда не решается и б) плявать интегралу самому по себе, что перед ним.

Тогда, не исключено, и жизнь легче покажется.

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:23 
Аватара пользователя
Хотя, я могу и ошибаться. Может есть какой-то не известный мне способ интегрировать по частям произведение ТРЁХ функций??? До сих пор я знала только правило для двух... :oops:


...Ну, что перед интегралом - это как раз самое простое. Я о ТРЁХ ФУНКЦИЯХ, КОТОРЫЕ В ПРОИЗВЕДЕНИИ под знаком интеграла. А коэффициент после интегрирования просто арифметически приписывается к общему решению. Я в курсе. :wink:

Ещё раз:
[1]первая функция - это 2х;
[2]вторая - это $e^t$;
[3]и третья - $\cos\frac{\pi(1+2n)}{2l}$

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:28 
Аватара пользователя
Vic
Может вы напишите нам интегральчик в нормальном виде. На данный момент для меня $2e^t$ -- константа. И разберитесь с косинусом, $x$ входит туда или нет?

Vic в сообщении #265762 писал(а):
Может есть какой-то не известный мне способ интегрировать по частям произведение ТРЁХ функций???

А рассматривать произедение двух любых "функций", входящих в интеграл, как одну вам религия не позволяет?

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:35 
Аватара пользователя
Под интегралом одна функция и её можно разбить в произведение любого желаемого числа сомножителей.
Более существенный вопрос:

у Вас под интегралом $e^t$ или $e^x$? Разницы принципиальной нет - по частям, но во втором случае сложнее.

ЗЫ. Красный цвет - это для модераторов, так что уберите его из подписи, пока модераторы не настучали по бандане. :D

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:40 
Аватара пользователя
Или $dt$ надо дописать быть может :roll:

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение27.11.2009, 18:53 
Аватара пользователя
И ещё один интеграл? :wink:

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение28.11.2009, 13:15 
Аватара пользователя
bot в сообщении #265765 писал(а):
Под интегралом одна функция и её можно разбить в произведение любого желаемого числа сомножителей.
Более существенный вопрос:

у Вас под интегралом $e^t$ или $e^x$? Разницы принципиальной нет - по частям, но во втором случае сложнее.

ЗЫ. Красный цвет - это для модераторов, так что уберите его из подписи, пока модераторы не настучали по бандане. :D

Ой, модераторы - это, конечно, люди полезные. Для них хоть звёздочку с неба. А синий цвет чей? Надеюсь, не модераторский? Ато так может получиться, что модераторы себе все цвета, кроме чёрного, позабирали... А это - нарушение прав человека! :twisted:
Ладно. Оффтоп заканчиваем. Теперь непосредственно к функции. Это действительно $e^t$, а не $e^x$. Время входит в начальные условия, функция $u(x,0)=5x$ (то есть, в нуле не равна нулю). Сама задача представляет из себя неоднородное уравнение теплопроводности типа "В" с однородными граничными условиями (метод Фурье). Интеграл, к которому мы приходим в процессе, берётся по $x$. Но я бы не спешила $e^t$ в связи с этим сразу относить к константам. Тут необходимо разобраться. Может мне надо написать полностью условие задачи? Так будет проще?

Цитата:
Или $dt$ надо дописать быть может

Угу... В том-то и дело, что неоднородное уравнение такого типа имеет приплюсованную функцию $F(x,t)$. Этот интеграл - её аналитическое выражение, необходимое для окончательного решения. Возможно, что и надо дописать $dt$. Я сейчас подумаю...
Так или иначе, нам, как мне кажется, всё равно прийдётся решать именно такого типа интеграл - с тремя помноженными друг на дружку функциями. Мне сейчас очень сложно представить, как можно такой интеграл преобразовать... Вот в чём вся проблема...
Ещё раз пишу интегральчик в том виде, к какому пришла. В подробностях:
$f_n(t)=\frac2l\int2xe^t\cos\frac{\pi(1+2n)}{2l}xdx$
Объясняю:
$X_n(x)=\cos\frac{\pi(1+2n)}{2l}$

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение28.11.2009, 13:29 
Vic в сообщении #265917 писал(а):
Сама задача представляет из себя неоднородное уравнение теплопроводности типа "В" с однородными граничными условиями (метод Фурье).

Тогда у Вас -- коэффициент Фурье для разложения свободного члена. Естественно, $x$ должен сидеть под косинусом. Интегрировать по $t$, естественно, не нужно -- во всяком случае пока, а дальше уж всё будет зависеть от того, каким способом вы соберётесь решать полученные дифуравнения для этих коэффициентов по времени.

Исходную постановку задачи привести действительно не помешало бы.

 
 
 
 Re: Наградил Господь интегралом!
Сообщение28.11.2009, 13:47 
Аватара пользователя
Ну, правильно, в принципе. Для времени потом пишется отдельное условие.
Задача имеет вид вот такой:
$U_t=4U_xx+2xe^t$
$U(0,t)=U_x(l,t)=0$
$U(x,0)=5x$
$t\ge0$

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group