Честно говоря, приведенные вами формулы с математической точки зрения не имеют смысла... Но не суть. Представьте себе, что аппроксимируемая функция – постоянная. Тогда, для аппроксимации функции потребуются огромные значения "дисперсии". Если такая функция является суммой гауссоид, то сумма амплитуд гауссоид должна равняться постоянной значения функции, а дисперсии – "бесконечны". Т.е. существует "бесконечное" количество представлений постоянной функции, при этом амплитуды гауссоид могут быть любыми от нуля до значения функции, при этом значение критерия останется равным нулю. Если имеют место участки без строго выраженных пиков, то даже микроскопические изменения значений входной функции могут вызвать радикальные изменения амплитуд и дисперсий гауссоид, т.е. аппроксимация является неустойчивой. Для вашей задачи неустойчивость аппроксимации имеет место в следующих случаях:
* функция имеет участки без явно выраженных пиков
* пики располагаются не строго периодично
* имеют место шумы (появятся дискретные локальные оптимумы)
Это значит, что
* результаты будут недостоверными
* будет колоссальное количество локальных оптимумов
Практическая польза от решения этой задачи вызывает у меня сильные сомнения...
Тем не менее, я попробовал аппроксимировать гауссоидами приведенную вами функцию. Период был найден минимизацией свертки исходного сигнала с периодической кусочно-постоянной функцией (она могла принимать значения 0 или 1). Для подбора периода применялся генетический алгоритм (оптимальный период 26.715 единиц).
Далее подбирались оптимальные амплитуды и дисперсия (также генетическим алгоритмом). Значения дисперсии были ограничены чтобы исключить сильное расползание гауссоиды на несколько периодов и чтобы исключить превращение гауссоида в "столбик" в одно измерение. Амплитуды и значения, обратные квадрату дисперсии приведены ниже:
Код:
Переменная Значение
Критерий 0,0673214180222907
Gauss(1).a 0,0966921710295119
Gauss(2).a 0,310881799708201
Gauss(3).a 0,0175258582101388
Gauss(4).a 0,0113091079014748
Gauss(5).a 0,0101597126438337
Gauss(6).a 0,00271198426585222
Gauss(7).a 0,00393904977978884
Gauss(8).a 0,00577692201668818
Gauss(9).a 0,00833619196374355
Gauss(10).a 0,0136521168333099
Gauss(11).a 0,0179351370525841
Gauss(12).a 0,0334625361149784
Gauss(13).a 0,100928799730309
Gauss(14).a 0,0421141477400787
Gauss(15).a 0,0184844273000956
Gauss(16).a 0,00593408056407361
Gauss(17).a 0,000719227422246054
Gauss(18).a 0
Gauss(19).a 0,000709128490361544
Gauss(1).d 0,134018295104194
Gauss(2).d 0,228919886295445
Gauss(3).d 0,0188848899032641
Gauss(4).d 0,0155059665935407
Gauss(5).d 0,0155059665935407
Gauss(6).d 0,0155059665935407
Gauss(7).d 0,0155059665935407
Gauss(8).d 0,0155059665935407
Gauss(9).d 0,0155059665935407
Gauss(10).d 0,0155059665935407
Gauss(11).d 0,0155059665935407
Gauss(12).d 0,0155059665935407
Gauss(13).d 0,0155059665935407
Gauss(14).d 0,0155059665935407
Gauss(15).d 0,0155059665935407
Gauss(16).d 0,0155059665935407
Gauss(17).d 0,0155059665935407
Gauss(18).d 1,04945231623543
Gauss(19).d 0,0155059665935407
В графическом виде результаты можно посмотреть здесь:
http://np-soft.ru/downloads/gaussoid.zipОтдельно приведена исходная функция и ее аппроксимация гауссоидами.
![$$
\sum_{k=1}^{N_1}\left[\sum_{i=1}^{N_2}a_i\exp\left(-\frac{(x_i-x)^2}{\tau_i^2}\right) - f(\rho(k))\right]^2 \to \min_{a_i \ge 0, \tau_i > 0, \delta i \le x_i \le \delta (i+1)},
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/4/e845c69c9d982a461017309e1008565e82.png "$$
\sum_{k=1}^{N_1}\left[\sum_{i=1}^{N_2}a_i\exp\left(-\frac{(x_i-x)^2}{\tau_i^2}\right) - f(\rho(k))\right]^2 \to \min_{a_i \ge 0, \tau_i > 0, \delta i \le x_i \le \delta (i+1)},
$$")
Я малость поправил запись Вашей формулы, используя $ \left[ \left( ... \right) \right] $. 
тоже слегка смущают, но я не в теме ![$[\,\delta_i?\;\delta(i)?\,]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/a/75a478b88185a45c0b1569e3efbd49ac82.png "$[\,\delta_i?\;\delta(i)?\,]$")
? Это масштаб 1:10000?
? Если оно задано, то где его численные значения?
задано? Или его нужно подобрать? Если нужно подбирать, то каков критерий "добавления" новой сигмоиды?
без индексов? Это то, о чем мы все подумали?![$x \in [90, 1000]$(хотя у меня в расчетах $x\in [90, 4000]), x_0 = 90, N_2 = [1000/x_0].$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/5/1456883f0c3a41e497e540568d86380482.png "$x \in [90, 1000]$(хотя у меня в расчетах $x\in [90, 4000]), x_0 = 90, N_2 = [1000/x_0].$")
Т.е. в начале 
- минимальная частота.
):
,
можно попытаться найти с помощью автокорреляции.
- избавитесь от деления и от квадрата, что есть хорошо для численных методов
– это должно повысить устойчивость процесса решения.
. А вообще смысл формулы - приблизить функцию 
суммой гауссоид, используя метод наименьших квадратов.