Представить в тригонометрической форме комплексное число

[rar]

Представить в тригонометрической форме комплексное число: $z = 1 + \cos{\frac{10\pi}{9}}+i\sin{\frac{10\pi}{9}}$

Модуль этого числа получается такой: $\rho=\sqrt{2\cos{\frac{10\pi}{9}}+1}$.

Вот как найти аргумент?..

[ShMaxG]

Модуль поправьте, почти угадали.

Ну если дано число $a+b \cdot i$, то как находить аргумент? Вообще, какой у него есть геометрический смысл?

[rar]

I. Модуль, вроде, правильно нашел.

II. Смысл аргумента - это угол образованный вектором комплексного числа с действительной осью.
Найти можно из уравнения:

$$\tg{\theta}=\frac{\sin{\frac{10\pi}{9}}}{1 + \cos{\frac{10\pi}{9}}}$$

Но я сомневаюсь, что что-нибудь путное из этого выйдет.

[ShMaxG]

1. Нефига. Под корнем у вас отрицательное число.

2. Выйдет-выйдет. Вообще эту формулу полезно знать. Просто в числителе раскройте синус двойного аргумента. И в знаменателе соответствующую формулу жахните.

[AKM]

Или здесь пошарьте: Тригонометрические функции ... половинных углов:

[bot]

Или просто сообразите как делится угол диагональю ромба.

[TOTAL]

rar в сообщении #264768 писал(а):

$$\tg{\theta}=\frac{\sin{\frac{10\pi}{9}}}{1 + \cos{\frac{10\pi}{9}}}$$

Но я сомневаюсь, что что-нибудь путное из этого выйдет.

Чтобы не вышло чего-нибудь непутного (когда вместо $\frac{10\pi}{9}$ стоит произвольный угол), лучше писать
$\sin{\theta}=\sin{\frac{10\pi}{9}}$
$\cos{\theta}=1 + \cos{\frac{10\pi}{9}}$

[ewert]

Как было уже метко замечено, $\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{2\,\sin{\alpha\over2}\,\cos{\alpha\over2}}{2\,\cos^2{\alpha\over2}}$.

А ещё лучше вообще не делить, а вставить половинные углы непосредственно в исходное выражение и вынести два косинуса за скобки -- тригонометрическая форма получится почти мгновенно. Надо только не забывать о знаке того косинуса.

[Sintanial]

$z = 1 + \cos{\frac{10\pi}{9}}+i\sin{\frac{10\pi}{9}}$
Для аргумента есть классная формула, я её запомнил и без труда нахожу аргументы =)
$arg (a+bi)= \left\{ \begin{array}{l} \pi+\arctan(\frac b a), a<0,\\ \arctan (\frac b a ), a>0, \end{array} \right.$

[ShMaxG]

Sintanial
Эту "классную" формулу легче вывести, чем знать.

И вообще - дайте уже наконец автору слово вставить.

[truth]

rar в сообщении #264764 писал(а):

Представить в тригонометрической форме комплексное число: $z = 1 + \cos{\frac{10\pi}{9}}+i\sin{\frac{10\pi}{9}}$

Позвольте узнать, какой у Вас ответ.(сверить)