2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 [draft] Справочник. Тригонометрия
Сообщение20.07.2008, 02:42 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4065
London
Тригонометрические функции
$$ \forall \alpha: \cos\alpha, \sin\alpha \in [-1,1]; $$
$$\tg \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$\ctg \alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \quad \alpha\ne \pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$\tg\alpha, \ctg\alpha\in(-\infty,\infty); $$
$$\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha},\quad \alpha\ne \frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$\cosec \alpha = \frac{1}{\sin\alpha}, \quad \alpha\ne \pi k, k\in\mathbb{Z};$$

Основные тригонометрические тождества
$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1;$$
$$ \tg \alpha \ctg\alpha = 1, \quad \alpha\ne\frac{\pi k}{2}, k\in\mathbb{Z};$$
$$ 1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\quad \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in\mathbb{Z};$$
$$ 1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha},\quad \alpha\ne\pi k, k \in\mathbb{Z};$$

Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента
(в приведенных формулах перед знаком радикала должен быть выбран "плюс" или "минус", в зависимости от того, в какой четверти находится угол $\alpha$, а именно, таким образом, чтобы знак тригонометрической функции, стоящей в левой части, совпадал со знаком величины, стоящей в правой части равенства)
\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c}
\hline
&\sin\alpha&\cos\alpha&\tg\alpha&\ctg\alpha&\sec\alpha&\cosec\alpha\\
\hline
\sin\alpha&&=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}&=\frac{\tg\alpha}{\pm\sqrt{1+\tg^2\alpha}}&=\frac{1}{\pm\sqrt{1+\ctg^2\alpha}}&=\frac{\pm\sqrt{\sec^2\alpha-1}}{\sec\alpha}&=\frac{1}{\cosec\alpha}\\
\hline
\cos\alpha&=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}&&=\frac{1}{\pm\sqrt{1+\tg^2\alpha}}&=\frac{\ctg\alpha}{\pm\sqrt{1+\ctg^2\alpha}}&=\frac{1}{\sec\alpha}&=\frac{\pm\sqrt{\cosec^2\alpha-1}}{\cosec\alpha}\\
\hline
\tg\alpha&=\frac{\sin\alpha}{\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}}&=\frac{\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}&&=\frac{1}{\ctg\alpha}&=\pm\sqrt{\sec^2\alpha-1}&=\frac{1}{\pm\sqrt{\cosec^2\alpha-1}}\\
\hline
\ctg\alpha&=\frac{\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}&=\frac{\cos\alpha}{\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}}&=\frac{1}{\tg\alpha}&&=\frac{1}{\pm\sqrt{\sec^2\alpha-1}}&=\pm\sqrt{\cosec^2\alpha-1}\\
\hline
\sec\alpha&=\frac{1}{\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}}&=\frac{1}{\cos\alpha}&=\pm\sqrt{1+\tg^2\alpha}&=\frac{\pm\sqrt{1+\ctg^2\alpha}}{\ctg\alpha}&&=\frac{\cosec\alpha}{\pm\sqrt{\cosec^2\alpha-1}}\\
\hline
\cosec\alpha&=\frac{1}{\sin\alpha}&=\frac{1}{\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}}&=\frac{\pm\sqrt{1+\tg^2\alpha}}{\tg\alpha}&=\pm\sqrt{1+\ctg^2\alpha}&=\frac{\sec\alpha}{\pm\sqrt{\sec^2\alpha-1}}&\\
\hline
\end{array}


Тригонометрические функции суммы и разности двух углов:
$$\sin(\alpha\pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$
$$\cos(\alpha\pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$
$$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}, \quad \alpha,\beta,\alpha+\beta \ne \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}$$
$$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}, \quad \alpha,\beta,\alpha-\beta \ne \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}$$
$$\ctg(\alpha + \beta) = \frac{\ctg \alpha \ctg \beta - 1}{\ctg \beta + \ctg \alpha}, \quad \alpha,\beta,\alpha+\beta \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$$
$$\ctg(\alpha - \beta) = \frac{\ctg \alpha \ctg \beta + 1}{\ctg \beta - \ctg \alpha}, \quad \alpha,\beta,\alpha-\beta \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.07.2008, 14:05 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4065
London
Тригонометрические функции двойных, тройных и половинных углов:
$$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha;$$
$$ \cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha =1 - 2 \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha -1;$$
$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2\alpha} \quad \alpha \ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},  \alpha \ne \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z};$$
$$ \ctg 2\alpha = \frac{\ctg^2 \alpha -1}{2\ctg \alpha}, \quad \alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z};$$


$$\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha; \quad \cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha-3\cos\alpha;$$
$$\tg 3\alpha=\frac{3\tg\alpha - \tg^3\alpha}{1-3\tg^2\alpha}, \quad \alpha \ne \frac{\pi}{2}+\pi k, \alpha \ne  \frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z};$$
$$\ctg 3\alpha = \frac{\ctg^3\alpha-3\ctg\alpha}{3\ctg^2\alpha-1}, \quad \alpha \ne \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z};$$


$$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}; \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}};$$
$$\tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, \quad \alpha \ne \pi+2\pi k, k \in \mathbb{Z};$$
$$\ctg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}, \quad \alpha \ne \pi k, k \in \mathbb{Z};$$
В формулах половинного угла знаки перед радикалами берутся в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.


Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:
$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2};$$
$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2};$$
$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2};$$
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2};$$
$$A\sin \alpha + B\cos \alpha = \sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+\phi_0),$$
где $\phi_0$ --- угол, для которого $\cos \varphi_0 = A/\sqrt{A^2+B^2}$, $\sin \varphi_0 = B/\sqrt{A^2+B^2};$
$$\cos\alpha+\sin\alpha=\sqrt2\cos(45^\circ-\alpha);$$
$$\cos\alpha-\sin\alpha=\sqrt2\sin(45^\circ-\alpha);$$
$$\tg\alpha\pm\tg\beta=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta},\quad \alpha,\beta\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$\ctg\alpha\pm\ctg\beta=\frac{\sin(\beta\pm\alpha)}{\sin\alpha\sin\beta}, \quad \alpha,\beta\ne\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$ \tg\alpha\pm\ctg\beta=\pm\frac{\cos(\alpha\mp\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}, \quad \alpha \ne \frac{\pi}{2}+\pi k, \beta \ne \pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$\tg\alpha+\ctg\alpha=2\cosec 2\alpha,\quad \tg\alpha-\ctg\alpha=-2\ctg 2\alpha, \quad \alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k\in\mathbb{Z};$$
$$ 1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}; \quad 1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2};$$
$$ 1+\sin\alpha=2\cos^2\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right); \quad 1-\sin\alpha=2\sin^2\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right);$$
$$1\pm\tg\alpha=\frac{\sqrt2\sin(45^\circ\pm\alpha)}{\cos\alpha}, \quad \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$1\pm\tg\alpha\tg\beta=\frac{\cos(\alpha\mp\beta)}{\cos\alpha\cos\beta},  \quad \alpha,\beta\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$\ctg\alpha\ctg\beta\pm 1=\frac{\cos(\alpha\mp\beta)}{\sin\alpha\sin\beta},  \quad \alpha,\beta\ne\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$1-\tg^2\alpha=\frac{\cos 2\alpha}{\cos^2\alpha},  \quad \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$1-\ctg^2\alpha=-\frac{\cos 2\alpha}{\sin^2\alpha},  \quad \alpha\ne\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$\tg^2\alpha-\tg^2\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)}{\cos^2\alpha\cos^2\beta},  \quad \alpha,\beta\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$\ctg^2\alpha-\ctg^2\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta-\alpha)}{\sin^2\alpha\sin^2\beta},  \quad \alpha,\beta\ne\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$\tg^2\alpha-\sin^2\alpha=\tg^2\alpha\sin^2\alpha,  \quad \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z};$$
$$\ctg^2\alpha-\cos^2\alpha=\ctg^2\alpha\cos^2\alpha,  \quad \alpha\ne\pi k, k\in\mathbb{Z}.$$

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

$$ \sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)];$$
$$ \cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)];$$
$$ \sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)];$$
$$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=\frac14[\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)];$$
$$\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma=\frac14[-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)];$$
$$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma=\frac14[\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)];$$
$$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=\frac14[\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)];$$

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями:
$$ \arcsin x=-\arcsin(-x)=\frac{\pi}{2}-\arccos x = \arctg\frac{x}{\sqrt{1-x^2}};$$
$$ \arccos x = \pi -\arccos(-x)=\frac{\pi}{2} - \arcsin x = \arcctg\frac{x}{\sqrt{1-x^2}};$$
$$\arctg x = -\arctg (-x) = \frac{\pi}{2} - \arcctg x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}};$$
$$\arcctg x =\pi -\arcctg (-x) = \frac{\pi}{2} - \arctg x=\arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group