Если координаты в начальный и конечный момент времени не фиксируются, то, дорогие мои, вариации координат тогда не зануляются
Не понял. Давайте-ка по шагам. Вот есть действие

. Вводим деформацию для

как

, которая

. Вводим вариацию

при заданной деформации

как

. Вводим вариацию функционала

при заданной деформации

. Раз лагранжиан зависит от

и

гладко, вносим дифференцирование под интеграл и получаем

, с понятными (надеюсь) обозначениями для скалярных произведений и где

.
Расписывая

и интегрируя по частям, имеем

Далее, в принципе Гамильтона рассматриваются только деформации с закрепленными концами, т.е.

, удовлетворяющие

,

. Однако опять же, сами

,

не фиксируются. Ладно, идем дальше. При таких деформациях верно, что

, что дает упрощенное выражения для вариации действия:

Ну и все, дальше выводят уравнения Лагранжа, аккуратно обходя тот факт, что есть краевые уловия на

.
Отсутствие вариаций на концах есть фиксация координат в те самые моменты времени. Не важно, чему равны их фактические значения, важно, что они определены, известны, заданы, и поэтому не могут варьироваться при поиске. Их заданность и определяет ту единственную траекторию, которую мы ищем. Еще раз, без заданности концов нет искомой траектории. ПНД не только о "получении" уравнений, т.е., семейства решений, но об определении единственной траектории. Математически это эквивалентно уравнениям Ньютона с некими начальными данными, а в физической постановке - нет.

используется и нужен только в первом (у Вас во втором) члене.
-- 21.08.2011, 20:35 --Вы всё ещё не ответили почему уравнения Ньютона более общие, хотя выводятся из ПНД. Да и почему
Ваше действие не минимально
Я написал о "Ньютоне" в предыдущем посте.
Если вариация Вашего действия пропорциональна вариации координаты (которая произвольна, хоть и мала), то где же у Вас минимум? Где же глухой ноль вариации действия?