А что вообще такое "синус комплексного числа"?
Отношение противолежащего катета к гипотенузе в комплексном треугольнике.Если определить синус не отношениями сторон в треугольнике, а через сумму ряда Тейлора

и подставить вместо действительного

комплексное

, то получится синус комплексного числа. И все тригонометрические тождества (а-ля

) по прежнему останутся верными.