решите комплексное тригонометрическое уравнение

[daogiauvang]

$ \sin z = \frac{4}{3} i$

Попытка решения:
Сначала, я пытался использовать формулу $\sin z= \frac{ e^{z}-e^{-z}}{2i}$ это даже сложнее.
Хотя, пытался чему синуса равно значение $ \frac{4}{3} i$ но это не получилось

[ShMaxG]

Попробуйте так: $\[z = x + i \cdot y\]$, далее $\[\sin \left( {x + i \cdot y} \right) = \sin x\operatorname{ch} y + i \cdot \operatorname{sh} y\cos x\]$. Действительная часть - нуль, мнимая - 4/3...

Ну а когда доберетесь до уравнения от $\sh{y}$, то представьте его через экспоненты.

[daogiauvang]

Я нашел решение
$$\sin z =\frac{ e^{iz}-e^{-iz}}{2i} =\frac{4i}{3} \to e^{iz}-e^{-iz} =\frac{-8}{3}$

Пусть $ e^{iz} =t$: $t+ \frac{1}{t} +\frac{8}{3} =0$
Следовательно, $t_{1,2} =-4 \pm \sqrt{7} =e^{iz} $ Отсюда $ iz= \Ln (-4 \pm \sqrt{7})=\ln (-4 \pm \sqrt{7})+ i2 \pi m $
И так $ z =2 \pi m -\ln (-4 \pm \sqrt{7})$

[ShMaxG]

daogiauvang в сообщении #263285 писал(а):

Следовательно, $t_{1,2} =-4 \pm \sqrt{7} =e^{iz}$

Забыли на 3 разделить.

daogiauvang в сообщении #263285 писал(а):

$\ln (-4 \pm \sqrt{7})$

Боже упаси. Кое-что забыли

-- Ср ноя 18, 2009 20:11:42 --

daogiauvang в сообщении #263285 писал(а):

Пусть $ e^{iz} =t$: $t+ \frac{1}{t} +\frac{8}{3} =0$

Вот тут ошибка.

[daogiauvang]

Да много ошибок, вообще я понимаю ход решения... ) спасибо за замечания!

[ShMaxG]

Вообще вы не правильно $z$ нашли из уравнения с экспонентой Я бы вообще не трогал логарифмы здесь...

[daogiauvang]

Задача 2.

$$2 \ch z + \sh z =i$$

[EtCetera]

daogiauvang
В общем-то, схема та же, что и в первой задаче:
1. от гиперболических функций переходите к экспонентам
$\ch z=\dfrac{e^z + e^{-z}}{2}$
$\sh z=\dfrac{e^z - e^{-z}}{2}$
2. заменяете $e^z=t$ и решаете квадратное уравнение относительно $t$
3. остается только поаккуратнее вернуться к переменной $z$.

[daogiauvang]

третья задача: Напишите

$$\arcsin (i-1) $$

в алгебраической форме

[ewert]

я мог бы тоже предложить решить квадратное уравнение, но спрошу проще: а что, в книжке нет стандартной формулы для арксинуса от комплексного числа?...

[srider0000]

А что вообще такое "синус комплексного числа"?

[covax]

srider0000 в сообщении #267557 писал(а):

А что вообще такое "синус комплексного числа"?

Отношение противолежащего катета к гипотенузе в комплексном треугольнике.
Если определить синус не отношениями сторон в треугольнике, а через сумму ряда Тейлора

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$$

и подставить вместо действительного $x$ комплексное $z$, то получится синус комплексного числа. И все тригонометрические тождества (а-ля $\sin^2x+\cos^2x=1$) по прежнему останутся верными.

[ewert]

По определению (ну т.е. такое определение, на мой взгляд, наиболее разумно)

$$\sin z\equiv{e^{iz}-e^{-iz}\over2\,i}\;.$$