Сложные школьные задачи (тесктовые, теория чисел)

[Eiktyrnir]

Помогите пожалуйста решить вот эти сложные задачи (моя дорогая и горячо любимая мама пытается помочь ученику 9-го класса физико-математической гимназии при МИФИ г.Москвы).

Задача №1. Число научно-технических книг в библиотеке равно 11/13 от числа художественных. При переезде библиотеки книги погрузили в два вагона. В первый вагон погрузили 1/15 часть научно-технических книг и 18/19 частей художественных. Во второй вагон погрузили 1/19 часть художественных и 14/15 научно-технических. Сколько книг каждого вида было в библиотеке, если в первом вагоне оказалось более 10000 книг, а во втором - менее 10000 книг?
Решение.
Пусть x-книг художественных, тогда научно-технических книг (11/13)x. В первом вагоне было $$(\frac {1} {15})(\frac {1} {13})x+(\frac {18} {19})x, а во втором вагоне $$(\frac {1} {19})x+(\frac {14} {15})(\frac {11} {13})x
1 вагон. $$(\frac {11} {15})13x+(\frac {18} {19})x>10000
и тогда будет
$$(\frac {3719x} {3705})>10000
x>9962 (округлив до целых)
2 вагон. $$(\frac {1} {19})x+(\frac {154} {15*13})x<10000
и тогда получается
$$(\frac {3121x} {3705})<1000
x<11871 (округлив до целых)
Хм... Вообщем число художественных книг лежит в интервале (9962;11871) (ну отсюда следовательно и решение для технических тоже плавающее). Но ответ дожен быть точным (как я понимаю). Или не обязательно?
Задача №2. Решить в целых числах уравнение:
2^{x}-1=y^{2}
Решение этого уравнения (0;0) и (1;1) - найдено методом подбора.
А как найти еще решения аналитически (подстановочку не подскажите)?
Задача №3.В каждом подъезде дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. На восьмом этаже третьего подъезда первая квартира имеет номер 106. Какой номер имеет вторая квартира на третьем этаже этого подъезда. (просто вилы - эмоции...)
Ребята полные вилы. Уцепиться абсолютно не за что. За что пытался уцепиться. Пока логически следует только вот что:
1) Число квартир в каждом подъезде одинаковое - это следует из равенства этажей дома и одинаковости числа квартир на каждом этаже. Дом одинаковой этажности и смежности грубо говоря.
2) Номера квартир нумеруются с 1-й (в 1-м подъезде) до какого-то конечного числа (неважно сейчас), но мы точно знаем что в 3-м подъезде на 8-м этаже есть квартира с номером 106.
(чем дальше в лес, тем тольще партизаны...)
3) Дальше из того, что уже в 3-м подъезде поместилась 106 квартира на 8-м этаже, то грубо говоря в 1-м и 2-м подъезде должно разместится квартир менее 100 (считаем что на каждом этаже по 2 квартире минимум - это следует из того, что в задаче обронили вопрос - найти номер 2-й квартиры на этаже). Хорошо допустим пусть по 2 квартиры на этаже (Бог с ними с буржуями). Тогда 97 номер получается у 2-й квартиры на 3-м этаже этого злополучного 3-го подъезда.
4) На 1-й и 2-й подъезды остается по 46 квартир на подъезд. Т.е. этажей всего 23 при таком раскладе (по 2 квартиры на этаж).
Я имею право утверждать, что так оно и есть? Ведь это я так условился (чтобы мне удобнее было).
Буржуйский такой домик получился... А верно ли ход мысли?
Задача №4. Найдите наименьшее число, которое увеличивается в 2 раза, если цифру единиц перенести в начало.
(особенно понравилось вот это "цифру единиц перенести в начало" - круто ничего не скажешь).
Попытки решить:
К примеру 49 - получается, что 94 но должно быть к примеру 98 (ну т.е. как я понял переставляешь единицу вперед и получается изначальное число увеличенное в два раза). Шутка ли?!
Умницы мои дорогие - как это (честно подбирал все 2-х значные числа - ну никак не получается, перешел к 3-х значным дошел до 200 ... выдохся нет сил больше).
Задача №5. В числе переставили цифры и получили в 2 раза большее число. Докажите, что данное число делится на 9.
(полный абзац, типа смотрите решение задачи №5 - там может содержаться возможная подсказка - хотя тут без разницы какие числа куда переставлять - ну у 2-х значных выбор один, а вот у трех значных там поинтереснее).
Попытки решить:
Попробуем пойти от обратного. Какие числа делятся на 9 без остатка.
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 (пока хватит) - нет 2-х значные не вариант, поехали дальше 3-х значные шерстить
108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198
не то снова - не вижу ни одной перестановки которое удовлетворяла бы увеличению вдвое любого приведенного здесь 3-х значного числа делящегося на 9.

Дорогие мои золотые медалисты, мои умники, умницы и просто очень хорошие и богатые на ум (и щедрость) ребята - подскажите, просветите пожалуйста.

[AD]

Eiktyrnir в сообщении #263219 писал(а):

Задача №2. Решить в целых числах уравнение:
$2^x-1=y^2$
Решение этого уравнения (0;0) и (1;1) - найдено методом подбора.
А как найти еще решения аналитически (подстановочку не подскажите)?

Так, а какие у нас получаются в типичном случае остатки от деления на 4?

-- Ср ноя 18, 2009 17:29:02 --

Предлагаю Вам поправить название темы, чтобы хоть чуть-чуть было понятно, о чем речь.

Как вариант: Помогите решить сложные школьные задачи (текстовые, теория чисел).
(это достигается кнопкой на первом сообщении темы)

[gris]

4. Пусть число равно $10n+k$. После переноса оно будет равно $10^{[\lg n]+1}k+n$.
Кстати, если посмотреть на задачу 5, то исходное число делится на 9.
1. С книгами надо учесть, что 1/19 это ровно 1/19. Значит число книг делится на 19 и 15 и, короче, надо oпределить на что.
5. Остаток от деления на 9 не зависит от порядка цифр (признак деления на 9)

[Maslov]

Eiktyrnir в сообщении #263219 писал(а):

Задача №3.В каждом подъезде дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. На восьмом этаже третьего подъезда первая квартира имеет номер 106. Какой номер имеет вторая квартира на третьем этаже этого подъезда.

На всех этажах двух первых подъездах и 7 этажах третьего - 105 квартир.
Пусть $n$ - число этажей, $m$ - количество квартир на этаже
$2\cdot n \cdot m + 7 \cdot m = 105$
$m \cdot (2n + 7) = 105$
Очевидно, что $m$ - нечетное, и $n > 7$.
Поскольку количество квартир на этаже больше одной, то надо проверить только $m = 3$.

-- Ср ноя 18, 2009 19:25:53 --

Eiktyrnir в сообщении #263219 писал(а):

Задача №2. Решить в целых числах уравнение:
2^{x}-1=y^{2}

Очевидно, $y$ - нечётное. Отсюда получаем уравнение
$(2k+1)^2 = 2^x -1$
$2^x = 4k^2 + 4k + 2$
Правая часть на 4 не делится, а левая часть не делится на 4 только в одном случае.

[gris]

4 задачу лучше порешать с другого конца. У какого числа после умножения на 2 последняя цифра просто переносится вперёд. Чему может равняться эта цифра?

[Батороев]

Eiktyrnir
В виду того, что Вас лишили возможности самостоятельно найти решение задачи 2, взамен предлагаю другую:
$2^x+1=y^2$

[Maslov]

Eiktyrnir в сообщении #263219 писал(а):

Задача №4. Найдите наименьшее число, которое увеличивается в 2 раза, если цифру единиц перенести в начало.

У меня получилось 105263157894736842.
Такое вообще может быть?

[gris]

А остальные больше будут
210526315789473684, 315789473684210526 и т.д.

[Sasha2]

В первой задаче, если там нет арифметических ошибок, то остается учесть, что число книг, конечно
а) должно заключаться между указанными пределами
б) Быть кратно 3705.
Сразу же получаем единственный ответ
(ПОтому как все три числа 15, 19 и 13 взаимно просты друг с другом).
Таким образом единственное кратное, удовлетворяющее этим условиям, это 3*3705

[Батороев]

gris в сообщении #263315 писал(а):

А остальные больше будут
210526315789473684, 315789473684210526 и т.д.

Следующее 157894736842105263.

В общем случае:

$ n = \dfrac{a\cdot(10^{18b}-1)}{19} $

где $a; b$ - натуральные, $2\leq a\leq 9$.

[Eiktyrnir]

Ребята Батороев, Sasha2, gris, Maslov, AD - снимаю перед вами шляпу. Низко кланяюсь. Выражаю огромную благодарность. Уважаю очень и сильно благодарю. Браво! Это было круто. Спасибо ОГРОМНОЕ. Искренне.

Батороев в сообщении #263288 писал(а):

Eiktyrnir
В виду того, что Вас лишили возможности самостоятельно найти решение задачи 2, взамен предлагаю другую:
$2^x+1=y^2$

... обязательно. Особенно после того как подсказали метод.

[ynnamed]

#3 с этажами, веселая задачка, но вроде я ее осилил.
Если брать два случая 2 квартиры на этаже или 4 то соответственно два ответа 117 и 86
В остальных случая получается либо нечетное количество квартир на два подъезда либо количество квартир превышает допустимое.
Ответ: 86; 117.

[provincialka]

polinaishere, вы нарушаете правила. gris вам уже это вам объяснил. Прочитайте правила!

[gris]

Хочется подсказать в стиле нашего любимого Yadryara: какая фраза приснилась Пьеру Безухову на почтовой станции?

[provincialka]

Тема перенесена автором, но не оформлена.