Проверка множества на свойства (функан)

[ShMaxG]

Спасибо. Замкнутость я вроде доказал. А вот то, что нет равностепенной непрерывности, - не удалось показать. Возьмусь за это на сл. неделе, сейчас некогда.

[ewert]

Ну а чего там доказывать. Они ведь способны сколь угодно быстро осциллировать на конечном промежутке.

Конкретно.

Равностепенная непрерывность означает:
$(\forall\varepsilon>0)\ \exists\delta:\ (\forall f;\ \forall x,y:\,|x-y|<\delta)\ |f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Обратное утверждение:
$\exists\varepsilon>0:\ (\forall\delta)\ \exists f;\ \exists x,y:\,|x-y|<\delta, \ \text{но при этом}\ |f(x)-f(y)|\geqslant\varepsilon$.

Ну так это очевидно.

[ShMaxG]

ewert
Ну да, это как-то интуитивно понятно конечно... Только вот формально надо это как-то написать

[id]

Ну так надо выбрать этот самый участок близко к 1.

Да, а как конкретнее Вы предлагаете доказывать замкнутость?

[ShMaxG]

Рассмотрим такое множество.

$\[\left\{ {x \in C\left[ {0,1} \right]|\exists a \in \left[ {0; + \infty } \right){\text{ }}x = t\sin \frac{a} {t},t \in \left( {0;1} \right]} \right\}\]$


Типа пусть $\[\varepsilon = 1/2\] $, тогда будем подбирать $a$ и $x$ с $y$ такими, что $\[\frac{a} {x} = \frac{\pi } {2} + 2\pi k\] $ и $\[\frac{a} {y} = \frac{{3\pi }} {2} + 2\pi k\]$. Вот, а $k$ подбирать так, чтобы было выполнено $\[\left| {x - y} \right| < \delta \]$. И условие, что $\[\left| {x + y} \right| \geqslant 1/2\]$ нам еще надо...

[ewert]

id в сообщении #264184 писал(а):

Да, а как конкретнее Вы предлагаете доказывать замкнутость?

Как и в предыдущей задаче. Доказать, что сходимость $\{f_{a_n}\}$ в $C$ равносильна сходимости просто $\{a_n\}$.

[ShMaxG]

А, ну да, такой подбор $k$ и $a$ действительно возможен.

Замкнутость. Пусть есть точка прикосновения множества $K$, тогда существует предел точек из $K$ к этой точке. Тогда рассмотрим, какими могут быть последовательности $a_n$, которые соответствуют таким пределам. Если последовательность $a_n$ ограничена, значит выделяем сходящуюся подпоследовательность и переходим к соответствующему пределу и все хорошо. Если не ограничена - выделяем подпоследовательность, уходящую в бесконечность. Но просто для каждой точки $x$ не существует предела $\[x\sin \frac{{{a_{{n_k}}}}} {x}\] $ при $ \[k \to \infty \]$. Но мы предполагали, что вообще предел существует. Так что неограниченные последовательности $a_n$ вообще не подходят под рассмотрение. Хеппи энд.

[id]

ShMaxG
$\[x\sin \frac{{{a_{{n_k}}}}} {x}\] $ - ? Тут, наверно, была исходная функция.
На словах-то понятно, конечно.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #264197 писал(а):

Но просто для каждой точки $x$ не существует предела $\[x\sin \frac{{{a_{{n_k}}}}} {x}\] $ при $ \[k \to \infty \]$.

Не так быстро. Для любого конкретного $x$ выбранная нами подпоследовательность $\{a_{n_k}\}$ случайно запросто может дать сходимость.

[ShMaxG]

Только для конкретных, но не равномерно по $x$?

-- Сб ноя 21, 2009 20:18:38 --

Ой, это я что-то другое решил

Просто у меня был другой вариант множества.

Сообщение #264189 - тут поправил.

[ewert]

Просто с ростом "частоты" корни тех функций уплотняются. Поэтому если та последовательность к чему и стремится -- то только к нулю (ну хотя бы из-за равномерной непрерывности своего предела). Но к нулю равномерно она, очевидно, не стремится.