2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 17:55 
Аватара пользователя
Спасибо. Замкнутость я вроде доказал. А вот то, что нет равностепенной непрерывности, - не удалось показать. Возьмусь за это на сл. неделе, сейчас некогда.

 
 
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 18:21 
Ну а чего там доказывать. Они ведь способны сколь угодно быстро осциллировать на конечном промежутке.

Конкретно.

Равностепенная непрерывность означает:
$(\forall\varepsilon>0)\ \exists\delta:\ (\forall f;\ \forall x,y:\,|x-y|<\delta)\ |f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Обратное утверждение:
$\exists\varepsilon>0:\ (\forall\delta)\ \exists f;\ \exists x,y:\,|x-y|<\delta, \ \text{но при этом}\ |f(x)-f(y)|\geqslant\varepsilon$.

Ну так это очевидно.

 
 
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 18:28 
Аватара пользователя
ewert
Ну да, это как-то интуитивно понятно конечно... Только вот формально надо это как-то написать :)

 
 
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 18:33 
Ну так надо выбрать этот самый участок близко к 1. :)

Да, а как конкретнее Вы предлагаете доказывать замкнутость?

 
 
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 18:42 
Аватара пользователя
Рассмотрим такое множество.

$\[\left\{ {x \in C\left[ {0,1} \right]|\exists a \in \left[ {0; + \infty } \right){\text{ }}x = t\sin \frac{a}
{t},t \in \left( {0;1} \right]} \right\}\]$


Типа пусть $\[\varepsilon  = 1/2\]
$, тогда будем подбирать $a$ и $x$ с $y$ такими, что $\[\frac{a}
{x} = \frac{\pi }
{2} + 2\pi k\]
$ и $\[\frac{a}
{y} = \frac{{3\pi }}
{2} + 2\pi k\]$. Вот, а $k$ подбирать так, чтобы было выполнено $\[\left| {x - y} \right| < \delta \]$. И условие, что $\[\left| {x + y} \right| \geqslant 1/2\]$ нам еще надо...

 
 
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 18:50 
id в сообщении #264184 писал(а):
Да, а как конкретнее Вы предлагаете доказывать замкнутость?

Как и в предыдущей задаче. Доказать, что сходимость $\{f_{a_n}\}$ в $C$ равносильна сходимости просто $\{a_n\}$.

 
 
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 18:52 
Аватара пользователя
А, ну да, такой подбор $k$ и $a$ действительно возможен.

Замкнутость. Пусть есть точка прикосновения множества $K$, тогда существует предел точек из $K$ к этой точке. Тогда рассмотрим, какими могут быть последовательности $a_n$, которые соответствуют таким пределам. Если последовательность $a_n$ ограничена, значит выделяем сходящуюся подпоследовательность и переходим к соответствующему пределу и все хорошо. Если не ограничена - выделяем подпоследовательность, уходящую в бесконечность. Но просто для каждой точки $x$ не существует предела $\[x\sin \frac{{{a_{{n_k}}}}}
{x}\]
$ при $ \[k \to \infty \]$. Но мы предполагали, что вообще предел существует. Так что неограниченные последовательности $a_n$ вообще не подходят под рассмотрение. Хеппи энд.

 
 
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 19:36 
ShMaxG
$\[x\sin \frac{{{a_{{n_k}}}}} {x}\] $ - ? :) Тут, наверно, была исходная функция.
На словах-то понятно, конечно.

 
 
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 19:45 
ShMaxG в сообщении #264197 писал(а):
Но просто для каждой точки $x$ не существует предела $\[x\sin \frac{{{a_{{n_k}}}}}
{x}\]
$ при $ \[k \to \infty \]$.

Не так быстро. Для любого конкретного $x$ выбранная нами подпоследовательность $\{a_{n_k}\}$ случайно запросто может дать сходимость.

 
 
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 20:16 
Аватара пользователя
Только для конкретных, но не равномерно по $x$?

-- Сб ноя 21, 2009 20:18:38 --

Ой, это я что-то другое решил :)

Просто у меня был другой вариант множества.

Сообщение #264189 - тут поправил.

 
 
 
 Re: Проверка множества на свойства (функан)
Сообщение21.11.2009, 20:41 
Просто с ростом "частоты" корни тех функций уплотняются. Поэтому если та последовательность к чему и стремится -- то только к нулю (ну хотя бы из-за равномерной непрерывности своего предела). Но к нулю равномерно она, очевидно, не стремится.

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group