Объясните как решить: касательная к эллипсу

[GulfStreamm]

Показать, что касательная к эллипсу $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ в точке M(x0;y0) имеет уравнение $(x*x_0)/a^2-(y*y_0)/b^2=1$.

[gris]

Покажите, что эта прямая касается эллипса. Только она не касается

[Профессор Снэйп]

GulfStreamm в сообщении #262271 писал(а):

Показать, что касательная к эллипсу $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ в точке M(x0;y0) имеет уравнение $(x*x_0)/a^2-(y*y_0)/b^2=1$.

Это невозможно показать, потому что это неверно

Пример: Эллипс, заданный уравнением

$$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1, $$

$x_0 = 0$, $y_0 = 1$. Прямая

$$ \frac{x \cdot 0}{4} - \frac{y \cdot 1}{1} = -y = 1 $$

вообще не проходит через точку $(x_0,y_0)$

-- Вс ноя 15, 2009 18:32:49 --

gris в сообщении #262273 писал(а):

Только она не касается

Касается, но не в той точке

[GulfStreamm]

Показать, что касательная к эллипсу $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ в точке $M(x_0;y_0) $ имеет уравнение $(x*x_0)/a^2+(y*y_0)/b^2=1$.

-- Вс ноя 15, 2009 16:35:39 --

Неправильно напечатал

[gris]

Вы не тот знак поменяли. Теперь это и не эллипс.

-- Вс ноя 15, 2009 15:38:19 --

Мне кажется, надо сравнить частные производные.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #262277 писал(а):

Мне кажется, надо сравнить частные производные.

Это смотря какое у него определение касательной было. Судя по вопросу, человек про градиенты вообще ничего не знает.

Я бы советовал тупо показать, что указанная прямая:

1) Проходит через точку $(x_0,y_0)$;
2) Не содержит других точек эллипса.

[ewert]

А градиенты и не нужны. Но вот что явно подразумевалось в задаче -- это производная неявно заданной функции: $y'(x)=-\dfrac{F'_x}{F'_y}=-\dfrac{xb^2}{ya^2}$. Т.е. уравнение касательной имеет вид $y=-\dfrac{x_0b^2}{y_0a^2}\cdot x+b$, и остаётся только подогнать $b$под точку и переписать в стандартной форме.

(и даже если на данный момент частных производных тоже пока нет -- всё равно, дифференцирование неявной функции -- это стандартная задача, только техника вывода чуть другая)

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #262285 писал(а):

Т.е. уравнение касательной имеет вид $y=-\dfrac{x_0b^2}{y_0a^2}\cdot x+b$, и остаётся только подогнать $b$под точку и переписать в стандартной форме.

При $y_0 = 0$ это неверно

Я сомневаюсь, что человек вообще умеет дифференцировать. А если и умеет, то вряд ли понимает, зачем это нужно.

Топикстартер, ау! Дайте определение касательной к эллипсу.

-- Вс ноя 15, 2009 19:01:49 --

Касательная к кривой --- вообще сложная штука, если разобраться... Скорее всего там должно быть всё на школьный манер: касательной к эллипсу называется прямая, пересекающая эллипс ровно в одной точке. Вот это и надо показывать. Только элементарная алгебра, никакого анализа.

-- Вс ноя 15, 2009 19:07:01 --

\begin{eqnarray} \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} &=& 1 \\ \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} &=& 1 \\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &=& 1 \end{eqnarray}

Сложите первое уравнение с третьим, вычтите из суммы удвоенное второе, посмотрите, что получится

[vvvv]

Предложенное уравнение (с заменой знака в левой части с минуса на плюс) представляет собой уравнение прямой в отрезках на осях.
И оно, действительно, имеет место (с заменой знака).
Для доказательства нужно положить : x0=a*cos(t), y0=b*sin(t) т.к. только точки с такими координатами принадлежат эллипсу.

[ewert]

vvvv в сообщении #262362 писал(а):

Для доказательства нужно положить : x0=a*cos(t), y0=b*sin(t) т.к. только точки с такими координатами принадлежат эллипсу.

Так -- тоже можно. Но только если не только для стартовой точки, но и для точек на эллипсе вообще. И -- необязательно так.

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #262288 писал(а):

ewert в сообщении #262285 писал(а):

Касательная к кривой --- вообще сложная штука, если разобраться... Скорее всего там должно быть всё на школьный манер: касательной к эллипсу называется прямая, пересекающая эллипс ровно в одной точке.
Сложите первое уравнение с третьим, вычтите из суммы удвоенное второе, посмотрите, что получится

Общее определение школьной касательной не таково, хотя для эллипса и верна.

[ewert]

типа "они всё путают -- и имя, и назва-ния..."

[vvvv]

ewert в сообщении #262378 писал(а):

Так -- тоже можно. Но только если не только для стартовой точки, но и для точек на эллипсе вообще. И -- необязательно так.

Ув.ewert, а для "для необязятельно так" у Вас есть доказательство?

[ewert]

Есть, конечно. Но озвучивать без необходимости -- лень.

(а если Вам кажется, что я к Вам придираюсь -- ну тоже есть, конечно, такой момент, я ведь тоже иногда увлекаюсь)

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #262392 писал(а):

Общее определение школьной касательной не таково, хотя для эллипса и верна.

Вы тут что-то все такие дюже умные, аж страшно становится!

Просветите тогда, каково школьное определение касательной к эллипсу. У нас в школе эллипсов вообще не проходили, а касательная к окружности определялась как прямая, пересекающая окружность ровно в одной точке.

Тут вот кто-то частные производные спешит вычислять, а кто-то параметризовать кривую и дифференцировать по параметру. Ответьте мне на два вопроса:

1) (Любителям градиентов) Пусть кривая задаётся уравнением $(x^2+y^2-1)^2 = 0$. Как доказать, что касательная к ней в точке $(1,0)$ задаётся уравнением $x-1=0$?

2) (Любителям параметризации) Пусть кривая задаётся параметрически системой $x(t) = t^3$, $y(t) = t^6$. Как доказать, что касательная к ней в точке $(0,0)$ задаётся уравнением $y=0$?