предел

[maxmatem]

$\lim\limits_{ x\to\\1}(3-2x)^{\frac{2x}{x-1}}$
чего-то не получается ! получилась неопределенность $1^{\infty}$
вот смущает что x стремится к 1. вот если бы к бесконечности! как начать?

[ShMaxG]

Записывайте ${\left( {3 - 2x} \right)^{\frac{{2x}} {{x - 1}}}} = \exp \left( {\frac{{2x}} {{x - 1}}\ln \left( {3 - 2x} \right)} \right)$, делайте замену соответствующую и используйте разложение по Маклорену.

[maxmatem]

вообще меня попросили помочь знакомый с первого курса и как я понимаю они про Маклорена в принципе не слыхали! как по-другому !так я тоже думал делать..ну почти так была мысль с заменой

[ShMaxG]

maxmatem
А замечательные пределы проходили?

[maxmatem]

ну конечно! только разве там x не должно к бесконечности стремится?

[ShMaxG]

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}} {x} = 1$$

[Henrylee]

maxmatem в сообщении #260366 писал(а):

ну конечно! только разве там x не должно к бесконечности стремится?

Или сразу замена $y=\frac1{2(1-x)}$, и будет как вы проходили.

[Quasus]

На свой вкус я бы так расписал:

(3-2x)^{\frac{2x}{x-1}} = \left[\left( 1 + (2-2x)\right) ^ {2-2x}\right]^\frac{2x(2-2x)}{x-1}

Теперь невооружённым взглядом видно, что выражение в квадратных скобках стремится к $e$.

Никто, правда, не задаёт себе вопроса, почему в таких случаях можно переходить к пределу в основании и показателе. Ну, вроде у Фихтенгольца в первом томе что-то было.

[ShMaxG]

Quasus в сообщении #260421 писал(а):

Теперь невооружённым взглядом видно, что выражение в квадратных скобках стремится к $e$.

Это не так.

[gris]

Всё правильно, тока небольшая описка в показателе степени

(3-2x)^{\frac{2x}{x-1}} = \left[\left( 1 + (2-2x)\right) ^ \frac1{2-2x}\right]^\frac{2x(2-2x)}{x-1}

[Quasus]

ShMaxG в сообщении #260425 писал(а):

Это не так.

gris в сообщении #260426 писал(а):

Всё правильно, тока небольшая описка в показателе степени

Виноват, прошу прощения.

[gris]

А почему можно переходить к пределу следует из теоремы о пределе сложной функции (композиции функций). Но в этом вопросе можно запросто завалить неаккуратного студента. Посмотрите у Зорича, как он находит версию ВЗП при $x\to-\infty$.
Разумеется, если уже имеется понятие непрерывности функции, то такие обоснования очевидны.