Помогите с рядами

[warezhunter_]

1)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\arcsin\frac{1}{\sqrt{n}}$
Составляем ряд эвкивалентный исходному:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\arcsin\frac{1}{\sqrt{n}}: \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}$
А дальше предел:
$lim\limits_{n\to\infty} \arcsin\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{n}$
И на пределе я застрял, может что тут не так.
2)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n-5}{5n^3+4}(-1)^n$
Тут надо применить теорему Лейбница для знакочередующихся рядов, а я не понимаю как это сделать.

[gris]

1. Надо доказать, что предел равен единице. ( Хотя Вы уже составили ряд, эквивалентный данному. Правильно, но на каком основании. Надо было вначале предел, а потом уж ряд). Или воспользоваться неравенством арксинуса и его аргумента вблизи нуля, что проще.
2. Там и без минус единицы всё ясно. Если, конечно, не надо находить сумму ряда. А признак Лейбница прямо по пунктам и применяйте.

[warezhunter_]

1) А о каком пределе идет речь, который надо было в начале делать?
Если об этом:
$\lim\limits_{n\to\infty}arcsin\frac{1}{\sqrt{n}}=0$
2) А теорема Лейбница выглядит так:
Если для ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}c_n$ выполнены условия:
1) для любого $n$ $c_n\geqslant c_{n+1}\geqslant 0$
2) $\lim\limits_{n \to \infty}c_n=0$
Тогда этот ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству $0\leqslant S \leqslant c_1$
Я так понимаю $c_n=\frac{3(n+1)-5}{5(n+1)^3+4} $, а $с_{n+1}=\frac{3(n+2)-5}{5(n+2)^3+4}$
$\lim\limits_{n \to \infty}c_n$ это то я найду без проблем, только как сравнивать $c_n$ и $с_{n+1}$ я не понимаю.

[ИСН]

Сравните в лоб. Какая разница. Умение пользоваться магией придёт потом.

[gris]

О том, который у был Вас написан. $\lim(\arcsin(1/\sqrt n)) \big/ (1/\sqrt n)$ С чего вы решили, что ряд с арксинусом эквивалентен ряду без арксинуса? Это же надо обосновать.
Как сравнивают выражения? Вычитают друг из друга. Придётся повозиться немного, но ничего страшного там нет.

[EtCetera]

warezhunter_
1) по-моему, и без предела замечательно решается. Т.к. $\sin x<x$ при $x>0$, то $\arcsin x > x$. Дальше все ясно, вроде бы.

[warezhunter_]

1) Теперь вообще ничего не понятно.
2) $c_n-с_{n+1}=\frac{3(n+1)-5}{5(n+1)^3+4}-\frac{3(n+2)-5}{5(n+2)^3+4}$
Теперь надо привести дробь к общему знаменателю, как это проще сделать - домножая на знаменатель?

[gris]

Совершенно верно. Перемножить. Вычесть. Скобки не надо торопиться раскрывать. Определить знак числителя и знаменателя.

-- Пн ноя 09, 2009 12:33:46 --

По первому пункту. Вы написали ряд $\sum\dfrac1{\sqrt n}$. Что можно сказать о его сходимости? Этот ряд эквивалентен исходному и даже почленно меньше его.

[warezhunter_]

1) Все разобрался вроде.
2)Получается дробь:
$\frac{(3(n+1)-5)(5(n+2)^3+4)-(3(n+2)-5)(5(n+1)^3+4)}{(5(n+1)^3+4)(5(n+2)^3+4)}$
и как тут вычитать числитель? скобки раскрывать?

[gris]

Я имел в виду пока не раскрывать скобки $(n+1)$ и $(n+2)$

[warezhunter_]

gris в сообщении #260043 писал(а):

Я имел в виду пока не раскрывать скобки $(n+1)$ и $(n+2)$

Так я пишу дробь:
$\frac{(3(n+1)-5)(5(n+2)^3+4)-(3(n+2)-5)(5(n+1)^3+4)}{(5(n+1)^3+4)(5(n+2)^3+4)}$
Тут имеется ввиду как сократить дробь не открывая скобки.

[gris]

кстати, почему $c_{n+1}-c_{n+2}$? Ну да всё равно.
Я бы даже обозначил $a=n+1; b=n+2$

[warezhunter_]

Для сходимости должно быть$c_n-c_{n+1}\geqslant0$, и если получится положительное то тогда можно утверждать, что $c_n\geqslant c_{n+1}$

[ИСН]

(Оффтоп)

(оффтопик) warezhunter_, я тоже ненавижу тех, кто поставил c и с на одной клавише, но извольте всё-таки различать.

[gris]

warezhunter_ , я имел в виду, что

$c_n=\dfrac{3n-5}{5n^3+4}$
$c_{n+1}=\dfrac{3(n+1)-5}{5(n+1)^3+4}$
$c_{n+2}=\dfrac{3(n+2)-5}{5(n+2)^3+4}$

Хотя это не влияет на итог